Подвійний маятник складається з двох маятників скріплених кінцем до кінця
У фізиці і математиці , у галузі динамічних систем , подвійний маятник це маятник з іншим маятником прикріпленим до його кінця, і є простою фізичною системою , яка проявляє різноманітну динамічну поведінку зі значною залежністю від початкових умов.[1] Рух маятника керується пов'язаними звичайними диференціальними рівняннями . Для деяких енергій його рух є хаотичним .
Можна розглядати декілька варіантів подвійних маятників; два члени можуть бути однакові чи різні завдовжки та за вагою, вони можуть бути простими маятниками або фізичними маятниками і рух може бути у трьох вимірах або обмежений вертикальною площиною. В наступному аналізі, члени обрані як однакові фізичні маятники довжини
ℓ
{\displaystyle \ell }
і маси
m
{\displaystyle m}
, і рух обмежений двома вимірами.
Подвійний фізичний маятник
У фізичного маятника, маса розподілена вздовж усієї його довжини. Якщо маса розподілена рівномірно, тоді центр мас кожного члена збігається з його геометричним центром, і член має такий момент інерції
I
=
1
12
m
ℓ
2
{\displaystyle \textstyle I={\frac {1}{12}}m\ell ^{2}}
щодо цієї точки.
Це зручно використовувати кути між кожним членом і вертикаллю як узагальнені координати визначаючи простір конфігурацій системи. Якщо покласти початок координат декартової системи координат у точці підвішування першого маятника, тоді центр мас цього маятника перебуває в:
x
1
=
ℓ
2
sin
θ
1
,
{\displaystyle x_{1}={\frac {\ell }{2}}\sin \theta _{1},}
y
1
=
−
ℓ
2
cos
θ
1
{\displaystyle y_{1}=-{\frac {\ell }{2}}\cos \theta _{1}}
і центр мас другого в
x
2
=
ℓ
(
sin
θ
1
+
1
2
sin
θ
2
)
,
{\displaystyle x_{2}=\ell \left(\sin \theta _{1}+{\frac {1}{2}}\sin \theta _{2}\right),}
y
2
=
−
ℓ
(
cos
θ
1
+
1
2
cos
θ
2
)
.
{\displaystyle y_{2}=-\ell \left(\cos \theta _{1}+{\frac {1}{2}}\cos \theta _{2}\right).}
Цієї інформації достатньо, щоб записати Лагранжіан.
Лагранжіан є різницею між кінетичною енергією і потенціальною енергією :
L
=
1
2
m
(
v
1
2
+
v
2
2
)
+
1
2
I
(
θ
˙
1
2
+
θ
˙
2
2
)
−
m
g
(
y
1
+
y
2
)
=
1
2
m
(
x
˙
1
2
+
y
˙
1
2
+
x
˙
2
2
+
y
˙
2
2
)
+
1
2
I
(
θ
˙
1
2
+
θ
˙
2
2
)
−
m
g
(
y
1
+
y
2
)
{\displaystyle {\begin{aligned}L&={\frac {1}{2}}m\left(v_{1}^{2}+v_{2}^{2}\right)+{\frac {1}{2}}I\left({{\dot {\theta }}_{1}}^{2}+{{\dot {\theta }}_{2}}^{2}\right)-mg\left(y_{1}+y_{2}\right)\\&={\frac {1}{2}}m\left({{\dot {x}}_{1}}^{2}+{{\dot {y}}_{1}}^{2}+{{\dot {x}}_{2}}^{2}+{{\dot {y}}_{2}}^{2}\right)+{\frac {1}{2}}I\left({{\dot {\theta }}_{1}}^{2}+{{\dot {\theta }}_{2}}^{2}\right)-mg\left(y_{1}+y_{2}\right)\end{aligned}}}
Перший доданок це лінійна кінетична енергія центру мас тіл і другий доданок це обертова кінетична енергія центрів мас кожного стрижня. Останній доданок це потенціальна енергія тіл у однорідному гравітаційному полі.
Підставляючи координати і перегруповуючи рівняння маємо
L
=
1
6
m
ℓ
2
[
θ
˙
2
2
+
4
θ
˙
1
2
+
3
θ
˙
1
θ
˙
2
cos
(
θ
1
−
θ
2
)
]
+
1
2
m
g
ℓ
(
3
cos
θ
1
+
cos
θ
2
)
.
{\displaystyle L={\frac {1}{6}}m\ell ^{2}\left[{{\dot {\theta }}_{2}}^{2}+4{{\dot {\theta }}_{1}}^{2}+3{{\dot {\theta }}_{1}}{{\dot {\theta }}_{2}}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})\right]+{\frac {1}{2}}mg\ell \left(3\cos \theta _{1}+\cos \theta _{2}\right).}
Рух подвійного фізичного маятника (з чисельного інтегрування рівняння руху)
Траєкторії подвійного маятника
При великій витримці, подвійний маятник проявляє хаотичний рух (відстежено за допомогою світлодіодів )
Тут відбувається збереження лише однієї величини (енергії), і не збережений узагальнений імпульс . Два імпульси можна записати як
p
θ
1
=
∂
L
∂
θ
˙
1
=
1
6
m
ℓ
2
[
8
θ
˙
1
+
3
θ
˙
2
cos
(
θ
1
−
θ
2
)
]
{\displaystyle p_{\theta _{1}}={\frac {\partial L}{\partial {{\dot {\theta }}_{1}}}}={\frac {1}{6}}m\ell ^{2}\left[8{{\dot {\theta }}_{1}}+3{{\dot {\theta }}_{2}}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})\right]}
і
p
θ
2
=
∂
L
∂
θ
˙
2
=
1
6
m
ℓ
2
[
2
θ
˙
2
+
3
θ
˙
1
cos
(
θ
1
−
θ
2
)
]
.
{\displaystyle p_{\theta _{2}}={\frac {\partial L}{\partial {{\dot {\theta }}_{2}}}}={\frac {1}{6}}m\ell ^{2}\left[2{{\dot {\theta }}_{2}}+3{{\dot {\theta }}_{1}}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})\right].}
Ці вирази можна обернути, щоб отримати
θ
˙
1
=
6
m
ℓ
2
2
p
θ
1
−
3
cos
(
θ
1
−
θ
2
)
p
θ
2
16
−
9
cos
2
(
θ
1
−
θ
2
)
{\displaystyle {{\dot {\theta }}_{1}}={\frac {6}{m\ell ^{2}}}{\frac {2p_{\theta _{1}}-3\cos(\theta _{1}-\theta _{2})p_{\theta _{2}}}{16-9\cos ^{2}(\theta _{1}-\theta _{2})}}}
і
θ
˙
2
=
6
m
ℓ
2
8
p
θ
2
−
3
cos
(
θ
1
−
θ
2
)
p
θ
1
16
−
9
cos
2
(
θ
1
−
θ
2
)
.
{\displaystyle {{\dot {\theta }}_{2}}={\frac {6}{m\ell ^{2}}}{\frac {8p_{\theta _{2}}-3\cos(\theta _{1}-\theta _{2})p_{\theta _{1}}}{16-9\cos ^{2}(\theta _{1}-\theta _{2})}}.}
Решта рівнянь руху можна записати як
p
˙
θ
1
=
∂
L
∂
θ
1
=
−
1
2
m
ℓ
2
[
θ
˙
1
θ
˙
2
sin
(
θ
1
−
θ
2
)
+
3
g
ℓ
sin
θ
1
]
{\displaystyle {{\dot {p}}_{\theta _{1}}}={\frac {\partial L}{\partial \theta _{1}}}=-{\frac {1}{2}}m\ell ^{2}\left[{{\dot {\theta }}_{1}}{{\dot {\theta }}_{2}}\sin(\theta _{1}-\theta _{2})+3{\frac {g}{\ell }}\sin \theta _{1}\right]}
і
p
˙
θ
2
=
∂
L
∂
θ
2
=
−
1
2
m
ℓ
2
[
−
θ
˙
1
θ
˙
2
sin
(
θ
1
−
θ
2
)
+
g
ℓ
sin
θ
2
]
.
{\displaystyle {{\dot {p}}_{\theta _{2}}}={\frac {\partial L}{\partial \theta _{2}}}=-{\frac {1}{2}}m\ell ^{2}\left[-{{\dot {\theta }}_{1}}{{\dot {\theta }}_{2}}\sin(\theta _{1}-\theta _{2})+{\frac {g}{\ell }}\sin \theta _{2}\right].}
Останні чотири рівняння є явними формулами для часової еволюції системи із заданим поточним станом. Це не виявляється можливим просунутись далі і інтегрувати ці рівняння аналітично, щоб отримати формули для θ1 і θ2 як функції від часу. Однак, можливо виконати числове інтегрування використовуючи метод Рунге — Кутти або подібну техніку.
↑ Levien RB and Tan SM. Double Pendulum: An experiment in chaos.American Journal of Physics 1993; 61 (11): 1038