Абсолютне значення (алгебра)

Абсолютним значенням на тілі або полі називається відображення $|\cdot |$ тіла K в множину $\mathbb {R} _{+}$ невід'ємних дійсних чисел, що задовольняє умовам:

$|x|=0_{\mathbb {R} }\iff x=0_{K}$ ;
$|xy|=|x||y|$ ;
$|x+y|\leqslant |x|+|y|.$

Абсолютне значення часто також називають нормою, мультиплікативним нормуванням. Абсолютні значення можуть більш загально розглядатися на будь-якому кільці зі значеннями в лінійно впорядкованому кільці. Абсолютні значення, що задовольняють умові

$|x+y|\leqslant \max(|x|,|y|)$

називаються ультраметричними або неархімедовими. В іншому випадку вони називаються архімедовими.

Приклади

Якщо $K=\mathbb {R}$ — поле дійсних чисел, то $|x|=\max\{x,-x\}$ є абсолютною величиною, або модулем, числа $x\in \mathbb {R}$ .
Аналогічно, якщо K — поле $\mathbb {C}$ комплексних чисел або тіло $\mathbb {H}$ кватерніонів, то $|x|={\sqrt {x{\bar {x}}}}$
Абсолютне значення підполя цих полів також забезпечуються індукованим абсолютним значенням.
Будь-яке тіло має тривіальне абсолютне значення:

|x|={\begin{cases}1,&x\neq 0\\0,&x=0\end{cases}}

Для скінченних полів і їх алгебраїчних розширень визначені тільки такі абсолютні значення.

Приклади абсолютних значень іншого типу дають логарифмічні нормування тіла K: якщо v — нормування K зі значеннями в групі $\mathbb {R}$ і a — дійсне число, таке що $0<a<1$ , то $|x|=a^{v(x)}$ є абсолютним значенням. Наприклад, якщо $K=\mathbb {Q}$ , а і $v_{p}$ є р-адичним нормуванням поля $\mathbb {Q}$ , то $|x|_{p}=(1/p)^{v_{p}(x)}$ називається р-адичним абсолютним значенням, або р-адичною нормою.

Властивості

Якщо 1 — одиничний елемент поля чи тіла, то $|1|=|{-1}|=1$ і також $|{-x}|=|x|$ для всіх елементів x.

|1|=|1\cdot 1|=|1|\cdot |1|

. Рівняння

|1|=|1|\cdot |1|

щодо невідомої

|1|

має два розв'язки в множині

\mathbb {R}

,

0

і

1

. З визначення абсолютного значення випливає

|1|\neq 0

, тому

|1|=1

.

Також

|1|=|{-1}\cdot -1|=|{-1}|\cdot |{-1}|

, тому

|{-1}|^{2}=1

. Оскільки абсолютне значення не може бути від'ємним, то

|{-1}|=1

.

Нарешті

|{-x}|=|{-1}\cdot x|=|{-1}|\cdot |x|=1\cdot |x|=|x|

, відповідно

|{-x}|=|x|

Для ультраметричних абсолютних значень $|n\cdot 1|\leqslant 1$ для всіх цілих чисел n. Навпаки для будь-якого абсолютного значення $|x|$ , якщо $|n\cdot 1|\leqslant 1$ хоча б для якогось натурального числа n > 0, то $|x|$ є ультраметричним абсолютним значенням. Еквівалентно, якщо $|n\cdot 1|\leqslant M$ для всіх цілих чисел n і довільного (спільного для всіх n) додатного дійсного числа M, то абсолютне значення є ультраметричним.
Для ультраметричних абсолютних значень справедливе твердження:

|x|\neq |y|\Rightarrow |x+y|=\max(|x|,|y|)

Припустимо, без втрати загальності, що

|x|<|y|

.

З визначення ультраметричного абсолютного значення

|y|=|(y+x)+(-x)|\leqslant \max(|y+x|,|{-x}|)

. Звідси

|y|\leqslant \max(|y+x|,|x|)

.

Оскільки

|x|<|y|

, також

|y|\leqslant |y+x|

.

Натомість,

|y+x|\leqslant \max(|x|,|y|)=|y|

.

З попередніх двох нерівностей випливає, що

|y+x|=|y|=\max(|x|,|y|).

Всі ультраметричні абсолютні значення отримуються з нормування зазначеним вище способом: $|x|=a^{v(x)}$ (і навпаки, за нормування завжди можна взяти $\log |x|$ ).
Якщо характеристика поля не є рівною 0, то всі абсолютні значення, визначені на ньому є неархімедовими.
Якщо абсолютне значення визначене для комутативного кільця R, що є областю цілісності то абсолютне значення можна однозначно продовжити на його поле часток прийнявши $|x/y|=|x|/|y|.\,$

Топологічні властивості і еквівалентність

Абсолютне значення $|x|$ визначає метрику на K, якщо за відстань між x і y прийняти $|x-y|$ , і тим самим визначає топологію на K. Так, топологія будь-якого локально компактного тіла визначається деяким абсолютним значенням.

Абсолютні значення $|x|_{1}$ і $|x|_{2}$ називаються еквівалентними, якщо вони визначають одну топологію; в цьому випадку існує таке $\lambda >0$ , що $|x|_{1}=|x|_{2}^{\lambda }$ для всіх $x\in K$ .

Еквівалентні класи всіх архімедових абсолютних значень (визначених на тілі із значеннями в множині дійсних чисел) описує теорема Островського: якщо $|x|$ — архімедове абсолютне значення на тілі K, то існує такий ізоморфізм K на деяке всюди щільне підтіло тіла $\mathbb {R} ,\mathbb {C}$ або $\mathbb {H}$ , що $|x|$ є еквівалентним абсолютному значенню, індукованому з $\mathbb {R} ,\mathbb {C}$ або $\mathbb {H}$ .

Будь-яке нетривіальне абсолютне значення поля $\mathbb {Q}$ раціональних чисел є еквівалентним або р-адичному абсолютному значенню $|x|_{p}$ (де p — просте число), або звичайному модулю числа. Ця теорема також називається теоремою Островського. При цьому для будь-якого раціонального числа $x\in \mathbb {Q}$ :

|x|\prod _{p}|x|_{p}=1.

Аналогічна формула справедлива і для полів алгебраїчних чисел.

Продовження абсолютних значень

Якщо $|x|$ — деяке абсолютне значення тіла K, то K може бути вкладене, за допомогою класичного процесу поповнення, в тіло $K_{|\cdot |}$ , що є повним щодо абсолютного значення, що продовжує $|x|$ .

Одним з методів вивчення полів є вкладення поля K в прямим добуток $\prod _{|\cdot |}K_{|\cdot |}$ поповнень поля K за всіма абсолютними значеннями. Поле K є щільним в $\prod _{|\cdot |}K_{|\cdot |}$ : якщо $|\cdot |_{1},...,|\cdot |_{n}$ — нетривіальні нееквівалентні абсолютні значення на полі K, $a_{1},...,a_{n}\in K$ і $\varepsilon >0$ , то існує таке $a\in K$ , що $|a_{i}-a|<\varepsilon$ для всіх i (теорема апроксимації для абсолютних значень).

Абсолютне значення поля K може бути продовженим (взагалі кажучи неоднозначно) на будь-яке алгебраїчне розширення поля K. Якщо K є повним щодо абсолютного значення $|x|$ , a L є розширенням K степеня n, то продовження $|x|$ на L визначається однозначно і задається формулою: