Теорема Островського

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

В теорії чисел, теорема Островського, дає класифікацію всіх абсолютних значень на полі раціональних чисел. Окрім того теоремою Островського також називають пов'язані результати для довільних числових полів і про архімедові абсолютні значення для довільного поля чи тіла.

Допоміжні означення і твердження теореми

[ред. | ред. код]

Абсолютні значення і на полі K є еквівалентними якщо існує додатне дійсне число c > 0 таке що

Тривіальним абсолютним значенням на полі K є абсолютне значення

Дійсним абсолютним значенням на полі раціональних чисел Q є стандартний модуль числа тобто

Для простого числа p, p-адичне абсолютне значення на Q можна задати в такий спосіб: довільне раціональне число x, можна в єдиний спосіб записати як , де a і b цілі числа, що не діляться на p, b > 0 і n є цілим числом; тоді

Теорема Островського: довільне нетривіальне власне значення на полі раціональних чисел є еквівалентним або дійсному власному значенню або p-адичному абсолютному значенню для деякого простого числа p.

Доведення

[ред. | ред. код]

Розглянемо деяке абсолютне значення на множині . Є два можливі випадки,

(i)
(ii)

Достатньо розглянути значення лише на цілих числах більших 1. Справді, якщо число c з множини R+ є таким, що для всіх цілих чисел більших 1, тоді ця рівність також тривіально виконується для 0 і 1, а для додатних раціональних чисел

Для від'ємних раціональних чисел:

Випадок I: ∃n ∈ N   |n| > 1

[ред. | ред. код]

Нехай a, b і n — натуральні числа і a, b > 1. Записавши bn в системі числення з базою a отримаємо:

Тоді, згідно властивостей абсолютних значень:

Тому

Проте ми маємо:

звідки випливає що:

Тепер виберемо 1 < bN таке що |b| > 1. Використовуючи це в попередньому отримаємо, що |a| > 1 незалежно від вибору a (в іншому випадку і тому ). Тож для довільного вибору a, b > 1 отримуємо

тобто

Згідно симетрії, ця нерівність є рівністю.

Оскільки a, b були довільними, існує константа, для якої , тобто для всіх цілих чисел n > 1. Тому, згідно попереднього, , що й доводить еквівалентність із звичайним модулем числа.

Випадок II: ∀n ∈ N   |n| ≤ 1

[ред. | ред. код]

Оскільки абсолютне значення не є тривіальним, існує натуральне число для якого |n| < 1. Розклавши це число на прості множники,

можна помітити, що |p| має бути меншим 1, хоча б для одного простого множника p = pj. Доведемо, що абсолютне значення може бути менше 1 лише для одного простого числа.

Припустимо, що p, q є двома різними простими числами власне значення яких є меншим 1. Спершу нехай таке число, що . Згідно алгоритму Евкліда, існують числа m, nZ для яких виконується рівність . Звідси отримуємо

що приводить до суперечності.

Отож маємо |pj| = α < 1 для деякого j і |pi| = 1 для ij. Позначивши

отримуємо що для довільних натуральних чисел

Як і вище для довільних раціональних чисел , тобто абсолютне значення є еквівалентним з p-адичним абсолютним значенням.

Узагальнення теореми Островського

[ред. | ред. код]

Теоремою Островського часто також називають більш загальні твердження для довільних числових полів, загальних полів чи тіл.

Твердження для числових полів

[ред. | ред. код]

Нехай  — алгебричне числове поле, тобто скінченне розширення поля раціональних чисел і — його кільце цілих чисел. Оскільки є кільцем Дедекінда, то для будь-якого його простого ідеала і будь-якого елемента можна записати де  — головний ідеал породжений цим елементом, а є ідеалами взаємно простими з ідеалом . Тоді можна ввести нормування і абсолютне значення де  — норма ідеала .

Введена так функція дійсно є абсолютним значенням і з китайської теореми про лишки випливає, що для двох різних простих ідеалів ці абсолютні значення не є еквівалентними.

Іншими прикладами абсолютного значення є модулі числа індуковані вкладенням числового поля в поле дійсних чи комплексних чисел. А саме якщо є таким вкладенням то де в правій частині позначений звичайний модуль дійсного чи комплексного числа. Це абсолютне значення буде архімедовим. Спряжені комплексні вкладення визначають одне абсолютне значення і навпаки, якщо два різні дійсні чи комплексні вкладення задають одне абсолютне значення то вони є комплексно спряженими.

Теорема Островського для числових полів стверджує, що розглянуті вище приклади абсолютних значень є фактично єдиними для числових полів: якщо  — алгебричне числове поле, то будь-яке його неархімедове нетривіальне абсолютне значення є еквівалентним для деякого простого ідеала , а будь-яке архімедове абсолютне значення є еквівалентним для деякого дійсного чи комплексного вкладення .

Твердження для раціональних функцій

[ред. | ред. код]

Нехай тепер  — поле і  — поле раціональних функцій від однієї змінної над . Оскільки є полем часток кільця , що є кільцем головних ідеалів, то на можна ввести нормування пов'язане із незвідним многочленом зі старшим коефіцієнтом рівним 1. Для довільного його значення визначається з розкладу , де многочлени є взаємно простими з .

Для довільного дійсного числа можна задати абсолютне значення породжене введеним нормуванням: Для різних таких абсолютні значення будуть еквівалентними, натомість для різних незвідних многочленів зі старшим коефіцієнтом рівним 1 відповідні абсолютні значення не будуть еквівалентними.

Окрім того на полі раціональних функцій можна ввести ще одне неархімедове абсолютне значення як: Це абсолютне значення не буде еквівалентним попереднім.

Теорема Островського для числових полів: будь-яке нетривіальне абсолютне значення на полі , що є тривіальним на є еквівалентним або для деякого незвідного многочлена зі старшим коефіцієнтом рівним 1 або

Архімедові абсолютні значення на полі та тілі

[ред. | ред. код]

Теоремою Островського також називають пов'язаний результат, що описує з точністю до еквівалентності всі архімедові абсолютні значення на довільному полі чи, більш загально, тілі: якщо  — архімедове абсолютне значення на тілі K, то існує таке вкладення K на деяке всюди щільне підтіло тіла або (тіло кватерніонів), що є еквівалентним абсолютному значенню, індукованому з або ; якщо K є полем то всі можливі вкладення є на поля .

Див. також

[ред. | ред. код]

Література

[ред. | ред. код]
  • Cassels, J. W. S. (1986). Local Fields. London Mathematical Society Student Texts. Т. 3. Cambridge University Press. ISBN 0-521-31525-5. Zbl 0595.12006.
  • Janusz, Gerald J. (1996). Algebraic Number Fields (вид. 2nd). American Mathematical Society. ISBN 0-8218-0429-4.
  • Jacobson, Nathan (1989). Basic algebra II (вид. 2-е). W H Freeman. ISBN 0-7167-1933-9.
  • Ostrowski, Alexander (1916). Über einige Lösungen der Funktionalgleichung φ(x)·φ(y)=φ(xy). Acta Mathematica (вид. 2-е). 41 (1): 271—284. doi:10.1007/BF02422947. ISSN 0001-5962.[недоступне посилання]