Аналітична множина

Аналіти́чна множина — це множина спільних нулів скінченної сім'ї аналітичних функцій.

Загальний опис

Для області $B\subset \mathbb {C} ^{m}$ розглянемо пучок ${\mathcal {O}}={\mathcal {O}}_{B}$ голоморфних функцій. Множина спільних нулів $A=\{z\in B\mid f_{1}(z)=\dots =f_{q}(z)=0\}$ сім'ї функцій $(f_{i})$, голоморфних на $B$, називається аналітичною множиною. Вона може бути оснащена пучком $({\mathcal {O}}_{B}/{\mathcal {I}}_{A})|_{A}$, де ${\mathcal {I}}_{A}$ - когерентний пучок ідеалів, що з відкритою підмножиною $V\subset B$ пов'язує ${\mathcal {I}}_{A}(V)=\{f\in {\mathcal {O}}_{B}(V)\mid f(A\cap V)=0\}$.

Когерентні пучки модулів

Пучок модулів ${\mathcal {M}}$ над пучком комутативних кілець ${\mathcal {R}}$ називається когерентним, якщо (a) ${\mathcal {M}}$ - скінченного типу (локально існують епіморфізми ${\mathcal {R}}^{p}\to {\mathcal {M}}$, $p\in \mathbb {N}$); (b) для довільної відкритої підмножини $U\subset X$ ядро довільного морфізма ${\mathcal {R}}^{q}|_{U}\to {\mathcal {M}}|_{U}$ має скінченний тип. Сам пучок ${\mathcal {R}}$ називається когерентним, якщо він когерентний як пучок модулів над собою. З довільним когерентним пучком ідеалів ${\mathcal {I}}\subset {\mathcal {O}}_{B}$ пов'язується аналітична множина $A=\{z\in B\mid \forall$ околу $V\ni z\;\forall f\in {\mathcal {I}}(V)\;f(z)=0\}$, оснащена когерентним пучком $\mathbb {C}$-алгебр $({\mathcal {O}}_{B}/{\mathcal {I}})|_{A}$. Маємо ${\mathcal {I}}\subset {\mathcal {I}}_{A}=\mathrm {rad} \,{\mathcal {I}}$, де радикал пучка ідеалів ${\mathcal {I}}$ визначається як пучок ідеалів $\mathrm {rad} \,{\mathcal {I}}$, стебло якого над $x\in B$ - це $(\mathrm {rad} \,{\mathcal {I}})_{x}=\mathrm {rad} ({\mathcal {I}}_{x})=\{f\in {\mathcal {O}}_{x}\mid \exists \,n\in \mathbb {N} \;f^{n}\in {\mathcal {I}}_{x}\}$.

Література

• Велика українська енциклопедія

• Abhyankar S. S., Local analytic geometry, Pure and Applied Mathematics, vol. XIV, Academic Press, New York-London, 1964.

• Grauert H., Remmert R., Theorie der Steinschen Räume, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 227, Springer-Verlag, Berlin-New York, 1977.