Функція суми квадратів

У теорії чисел функція суми квадратів — арифметична функція, яка дає кількість подань натурального числа $n$ як суми $k$ квадратів, де подання, які відрізняються лише порядком доданків або знаками чисел, які підносять до квадрата, вважають різними і позначають $r k (n)$ .

Визначення

Функцію визначають як

r_{k}(n)=|\{(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k})\in \mathbb {Z} ^{k}\ :\ n=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{k}^{2}\}|

де $|\,\ |$ позначає потужність множини. Іншими словами, $r k (n)$ — це кількість способів, якими $n$ можна записати як суму $k$ квадратів.

Наприклад, $r_{2}(1)=4$ , оскільки $1=0^{2}+(\pm 1)^{2}=(\pm 1)^{2}+0^{2}$ де кожна сума має дві комбінації знаків, а також $r_{2}(2)=4$ , оскільки $2=(\pm 1)^{2}+(\pm 1)^{2}$ з чотирма комбінаціями знаків. З іншого боку, $r_{2}(3)=0$ , тому що немає способу подати 3 як суму двох квадратів.

Формули

k = 3

Кількість способів запису натурального числа у вигляді суми двох квадратів визначається як $r 2 (n)$ :

r_{2}(n)=4(d_{1}(n)-d_{3}(n))

де $d 1 (n)$ — кількість дільників числа $n$ , рівних 1 за модулем 4, а $d 3 (n)$ — кількість дільників числа $n$ , рівних 3 за модулем 4. Використовуючи знак суми, вираз можна записати так:

r_{2}(n)=4\sum _{d\mid n \atop d\,\equiv \,1,3{\pmod {4}}}(-1)^{(d-1)/2}

Розклад на прості множники $n=2^{g}p_{1}^{f_{1}}p_{2}^{f_{2}}\cdots q_{1}^{h_{1}}q_{2}^{h_{2}}\cdots$ , де $p_{i}$ — прості множники форми $p_{i}\equiv 1{\pmod {4}},$ і $q_{i}$ — прості множники форми $q_{i}\equiv 3{\pmod {4}}$ дає іншу формулу

r_{2}(n)=4(f_{1}+1)(f_{2}+1)\cdots

, якщо всі показники

h_{1},h_{2},\cdots

парні. Якщо один або декілька

h_{i}

непарні, тоді

r_{2}(n)=0

.

k = 4

Гаусс довів, що для вільного від квадратів числа $n > 4$

r_{3}(n)={\begin{cases}24h(-n),&{\text{якщо }}n\equiv 3{\pmod {8}},\\0&{\text{якщо }}n\equiv 7{\pmod {8}},\\12h(-4n)&{\text{в інших випадках}},\end{cases}}

де $h (m)$ — номер класу цілого числа $m$ .

Існують розширення формули Гауса на довільне ціле число $n$ ^[1]^[2].

k = 6

Кількість способів подати $n$ у вигляді суми чотирьох квадратів з'ясував Карл Густав Якоб Якобі: вона у вісім разів перевищує суму дільників $n$ , які не діляться на 4, тобто

r_{4}(n)=8\sum _{d\,\mid \,n,\ 4\,\nmid \,d}d.

Подавши $n = 2 k m$ , де m — непарне ціле число, можна виразити $r_{4}(n)$ у термінах функції дільників так:

r_{4}(n)=8\sigma (2^{\min\{k,1\}}m).

k = 8

Кількість способів подати $n$ у вигляді суми шести квадратів визначають так:

r_{6}(n)=4\sum _{d\mid n}d^{2}{\big (}4\left({\tfrac {-4}{n/d}}\right)-\left({\tfrac {-4}{d}}\right){\big )},

де $\left({\tfrac {\cdot }{\cdot }}\right)$ є символом Кронекера^[3].

k = 2

Якобі також знайшов явну формулу для випадку $k = 8$ :^[3]

r_{8}(n)=16\sum _{d\,\mid \,n}(-1)^{n+d}d^{3}.

Твірна функція

Твірну функцію послідовності $r_{k}(n)$ для фіксованого $k$ можна виразити через тета-функцію Якобі:^[4]

\vartheta (0;q)^{k}=\vartheta _{3}^{k}(q)=\sum _{n=0}^{\infty }r_{k}(n)q^{n},

де

\vartheta (0;q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}=1+2q+2q^{4}+2q^{9}+2q^{16}+\cdots .

Числові значення

Перші 30 значень для $r_{k}(n),\;k=1,\dots ,8$ наведено в таблиці:

n	=	r₁(n)	r₂(n)	r₃(n)	r₄(n)	r₅(n)	r₆(n)	r₇(n)	r₈(n)
0	0	1	1	1	1	1	1	1	1
1	1	2	4	6	8	10	12	14	16
2	2	0	4	12	24	40	60	84	112
3	3	0	0	8	32	80	160	280	448
4	2²	2	4	6	24	90	252	574	1136
5	5	0	8	24	48	112	312	840	2016
6	2×3	0	0	24	96	240	544	1288	3136
7	7	0	0	0	64	320	960	2368	5504
8	2³	0	4	12	24	200	1020	3444	9328
9	3²	2	4	30	104	250	876	3542	12112
10	2×5	0	8	24	144	560	1560	4424	14112
11	11	0	0	24	96	560	2400	7560	21312
12	2²×3	0	0	8	96	400	2080	9240	31808
13	13	0	8	24	112	560	2040	8456	35168
14	2×7	0	0	48	192	800	3264	11088	38528
15	3×5	0	0	0	192	960	4160	16576	56448
16	2⁴	2	4	6	24	730	4092	18494	74864
17	17	0	8	48	144	480	3480	17808	78624
18	2×3²	0	4	36	312	1240	4380	19740	84784
19	19	0	0	24	160	1520	7200	27720	109760
20	2²×5	0	8	24	144	752	6552	34440	143136
21	3×7	0	0	48	256	1120	4608	29456	154112
22	2×11	0	0	24	288	1840	8160	31304	149184
23	23	0	0	0	192	1600	10560	49728	194688
24	2³×3	0	0	24	96	1200	8224	52808	261184
25	5²	2	12	30	248	1210	7812	43414	252016
26	2×13	0	8	72	336	2000	10200	52248	246176
27	3³	0	0	32	320	2240	13120	68320	327040
28	2²×7	0	0	0	192	1600	12480	74048	390784
29	29	0	8	72	240	1680	10104	68376	390240
30	2×3×5	0	0	48	576	2720	14144	71120	395136

Примітки

↑ P. T. Bateman (1951). On the Representation of a Number as the Sum of Three Squares (PDF). Trans. Amer. Math. Soc. 71: 70—101. doi:10.1090/S0002-9947-1951-0042438-4.
↑ S. Bhargava; Chandrashekar Adiga; D. D. Somashekara (1993). Three-Square Theorem as an Application of Andrews' Identity (PDF). Fibonacci Quart. 31: 129—133.
↑ ^а ^б Cohen, H. (2007). 5.4 Consequences of the Hasse–Minkowski Theorem. Number Theory Volume I: Tools and Diophantine Equations. Springer. ISBN 978-0-387-49922-2.
↑ Milne, Stephen C. (2002). Introduction. Infinite Families of Exact Sums of Squares Formulas, Jacobi Elliptic Functions, Continued Fractions, and Schur Functions. Springer Science & Business Media. с. 9. ISBN 1402004915.

Посилання

Weisstein, Eric W. Sum of Squares Function(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
Слоун, Ніл (ред.). Sequence A122141 (кількість способів запису n у вигляді суми d квадратів). Інтерактивна енциклопедія цілочислових послідовностей. OEIS Foundation.
Слоун, Ніл (ред.). Sequence A004018 (Тета-ряд квадратної ґратки, r_2(n)). Інтерактивна енциклопедія цілочислових послідовностей. OEIS Foundation.

[1] P. T. Bateman (1951). On the Representation of a Number as the Sum of Three Squares (PDF). Trans. Amer. Math. Soc. 71: 70—101. doi:10.1090/S0002-9947-1951-0042438-4.

[2] S. Bhargava; Chandrashekar Adiga; D. D. Somashekara (1993). Three-Square Theorem as an Application of Andrews' Identity (PDF). Fibonacci Quart. 31: 129—133.

[Cohen2007-3] а ^б Cohen, H. (2007). 5.4 Consequences of the Hasse–Minkowski Theorem. Number Theory Volume I: Tools and Diophantine Equations. Springer. ISBN 978-0-387-49922-2.

[4] Milne, Stephen C. (2002). Introduction. Infinite Families of Exact Sums of Squares Formulas, Jacobi Elliptic Functions, Continued Fractions, and Schur Functions. Springer Science & Business Media. с. 9. ISBN 1402004915.

[1]

[2]

[3]

[4]