Безумовна збіжність

В математичному аналізі, ряд $\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}$ в банаховому просторі X називається безумовно збіжним, якщо для довільної перестановки $\sigma :\mathbb {N} \to \mathbb {N}$ ряд $\sum _{n=1}^{\infty }x_{\sigma (n)}$ є збіжним і $\sum _{n=1}^{\infty }x_{\sigma (n)}$ = $\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}$ .

Властивості

Довільний абсолютно збіжний ряд є безумовно збіжним, але обернене твердження є невірним. Проте, коли X = Rⁿ, тоді внаслідок теореми Рімана , ряд $\sum x_{n}$ є безумовно збіжним тоді і тільки тоді, коли він є абсолютно збіжним.
Якщо $\{x_{n}\}\,$ послідовність елементів гільбертового простору H, то з безумовної збіжності ряду $\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}$ випливає $\sum _{n=1}^{\infty }\lVert x_{n}\rVert ^{2}<\infty .$

Еквівалентні визначення

Можна дати кілька еквівалентних визначень безумовної збіжності: ряд є безумовно збіжним тоді і тільки тоді коли:

для довільної послідовності $(\varepsilon _{n})_{n=1}^{\infty }$ , де $\varepsilon _{n}\in \{-1,+1\}$ , ряд $\sum _{n=1}^{\infty }\varepsilon _{n}x_{n}$ є збіжним.
для довільної послідовності $(\alpha _{n})_{n=1}^{\infty }$ , такої що $\sup _{n}|\alpha _{n}|<\infty$ , ряд $\sum _{n=1}^{\infty }\alpha _{n}x_{n}$ є збіжним.
для довільної послідовності $1\leq k_{1}<k_{2}<\ldots$ , ряд $\sum _{n=1}^{\infty }x_{k_{n}}$ є збіжним.
для довільного $\epsilon >0$ існує скінченна підмножина $I\subset \mathbb {N} ,$ така що $\lVert \sum _{i\in J}x_{i}\rVert \,<\epsilon$ для довільної скінченної підмножини $J\subset \mathbb {N} \setminus I$

Приклад

Нехай дано простір $l^{p}\,,$ де $1\leqslant p<\infty$ — банаховий простір числових послідовностей з нормою $\|x\|_{p}=\left(\sum \limits _{n=1}^{\infty }|x_{n}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}$ . Розглянемо в ньому послідовність $x_{n}=(0,\ldots ,{\frac {1}{n}},0,\ldots ),$ де ненульове значення стоїть на n-му місці. Тоді ряд $\sum _{n=1}^{\infty }x_{\sigma (n)}$ є безумовно збіжним, але не є абсолютно збіжним.