Гільбертів простір

Гільбертів простір
Названо на честь	Давид Гільберт
Підтримується Вікіпроєктом	Вікіпедія:Проєкт:Математика
Гільбертів простір у Вікісховищі

Стан вібруючої струни можна змоделювати як точку у гільбертовому просторі. Декомпозиція вібруючої струни на її вібрації в різних обертонах задається проєкцією точки на координатні осі в просторі.

Гі́льбертів про́стір (на честь Давида Гільберта) — це узагальнення поняття евклідового простору на нескінченновимірний випадок. Є лінійним простором над полем дійсних або комплексних чисел (прийменник «над» означає, що у такому просторі дозволені операції множення на скаляри із відповідних полів), із визначеним скалярним добутком. Останній дозволяє:

1. вводити поняття, аналогічні звичним поняттям ортогональності і кута;
2. визначити метрику, відносно якої гільбертів простір є повним метричним простором.

Гільбертові простори часто виникають у математиці та фізиці — як правило, як функціональні простори. Вперше вони досліджувалися з цієї точки зору в першому десятилітті 20-го століття Давидом Гільбертом, Ерхардом Шмідтом і Фріджесом Рісом. Гільбертові простори є незамінними інструментами в теорії диференціальних рівнянь у частинних похідних, квантовій механіці, аналізі Фур'є (який включає застосування до обробки сигналів і теплопередачі) та ергодичній теорії (яка формує математичну основу термодинаміки). Джон фон Нейман ввів термін «Гільбертовий простір» для абстрактної концепції, яка лежить в основі багатьох із цих різноманітних застосувань. Успіх методів простору Гільберта започаткував дуже плідну еру функціонального аналізу. Окрім класичних евклідових векторних просторів, прикладами гільбертових просторів є простори квадратично-інтегрованих функцій, простори послідовностей, простори Соболєва, що складаються з узагальнених функцій, і простори Харді голоморфних функцій.

Геометрична інтуїція відіграє важливу роль у багатьох аспектах теорії гільбертового простору. Так, у гільбертовому просторі справедливі точні аналоги теореми Піфагора і правила паралелограма. На глибшому рівні — перпендикулярна проекція на лінійний підпростір або підпростір (аналог «опускання висоти» в трикутнику) відіграє значну роль у вирішенні проблем оптимізації. Елемент гільбертового простору може бути однозначно заданий його координатами відносно ортонормованого базису, за аналогією з декартовими координатами в класичній геометрії. Коли цей базис є зліченно-нескінченним, це дозволяє ототожнити гільбертовий простір з простором нескінченних послідовностей, які сумуються квадратами. Останній простір часто в старій літературі називають простором Гільберта.

Означення

Гільбертовим простором називається векторний простір $H$над полем дійсних або комплексних чисел разом зі скалярним добутком — функцією від двох змінних $(\cdot ,\cdot ):H\times H\to \mathbb {R}$(або $\mathbb {C}$, у випадку використання поля комплексних чисел), що задовольняє такі умови:

1. $(x,x)\geq 0$ для кожного $x\in H$
2. $(x,x)=0$ тоді і лише тоді, коли $x=0$
3. $(x+y,z)=(x,z)+(y,z)$ для довільних трьох $x,y,z\in H$
4. $(\alpha x,y)=\alpha (x,y)$, де $x,y\in H$, $\alpha$ — елемент скалярного поля. ($\mathbb {R}$ або $\mathbb {C}$)
5. $(x,y)={\overline {(y,x)}}\ x,y\in H$
6. Для довільної послідовності $x_{n}\in H,\ n=1,2,\ldots ,$, для якої виконано (умова фундаментальності)

$\lim _{l,k\to \infty }(x_{l}-x_{k},x_{l}-x_{k})=0$,

знайдеться елемент $x\in H$, що для нього

$\lim _{n\to \infty }(x_{n}-x,x_{n}-x)=0$.

Тоді кажуть, що $x$ є границею послідовності $x_{n}$.

Наведене вище означення однаково застосовне як для випадку простору над дійсними числами, так і над комплексними; досить зауважити, що у першому випадку в умові 5 маємо просто симетричність скалярного добутку: $(x,y)=(y,x)$.

Іноді також вимагається, щоб для розмірності простору виконувалось $dimH=\infty$, хоча, очевидно, евклідові (скінченновимірні) простори можна розглядати як гільбертові без жодних додаткових застережень.

Слід зазначити, що умова 6 означає повноту простору відносно норми, заданої, як $\|x\|={\sqrt {(x,x)}}$ (те, що наведена функція справді є нормою, випливає із вказаних вище властивостей скалярного добутку); враховуючи лінійність, маємо, що кожен гільбертів простір є одночасно банаховим простором (тобто, повним нормованим векторним простором) із нормою $\|x\|={\sqrt {(x,x)}}$.

Гільбертів простір є узагальненням для випадку нескінченної розмірності як евклідового простору $\mathbb {R} ^{n}$ так і ермітового простору $\mathbb {C} ^{n}.$

Передгільбертів простір — векторний простір зі скалярним добутком (умови 1-5). Умови повноти простору 6 немає, тому він, загалом, не є банаховим.

Лінійне відображення $\ L:H_{1}\to H_{2}$ між двома (комплексними) гільбертовими просторами називається ізометрією, якщо воно зберігає (ермітовий) скалярний добуток, тобто для будь-яких векторів $u,v\in H_{1},$ виконується рівність $(L(u),L(v))=(u,v).$ За допомогою тотожності паралелограма,

$\|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=2(\|x\|^{2}+\|y\|^{2})$

(випливає із властивостей скалярного добутку і означення норми у гільбертовому просторі; $x,y\in H$ — довільні) доводиться, що $L$ є ізометрією тоді і тільки тоді, коли воно зберігає норму, тобто $\|L(v)\|=\|v\|$ для будь-якого $v\in H_{1}.$ Ізометрія між двома гільбертовими просторами, що є бієкцією, називається ізоморфізмом гільбертових просторів.

Приклади

1. Простір $l^{2},$ що складається зі збіжних послідовностей комплексних чисел — тобто, послідовностей, для яких

$\mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},\ldots ),\quad \|\mathbf {x} \|^{2}=\sum _{n\geq 1}|x_{n}|^{2}<\infty ,$

із ермітовим скалярним добутком

$(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\sum _{n\geq 1}x_{n}{\overline {y_{n}}}$

є комплексним гільбертовим простором. Якщо обмежитися лише послідовностями з дійсними членами, то одержимо дійсний гільбертів простір. Те, що $(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )<\infty ,$ тобто ряд збігається — не очевидний факт, що потребує доведення. Збіжність ряда випливає із нерівності Коші-Буняковського, застосованої до перших $n$ членів послідовностей $\mathbf {x}$ і $\mathbf {y} .$ Отож, отримуємо, що

$|(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )|\leq \|\mathbf {x} \|\|\mathbf {y} \|.$

У курсі функціонального аналізу доводиться також, що простір $l^{2}$ — повний і, таким чином, задовольняє всім аксіомам гільбертового простору.

2. Гільбертів простір $L^{2}[-\pi ,\pi ]$ квадратично-інтегрованих за Лебегом функцій на відрізку $[-\pi ,\pi ]$ утворюється з лінійного простору неперервних комплекснозначних функцій на цьому відрізку за операцією поповнення. Наведемо лише означення ермітового скалярного добутку на $L^{2}[-\pi ,\pi ]$:

$(f,g)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x){\overline {g(x)}}dx.$

Ортонормальні базиси: координати у гільбертовому просторі

У будь-якому гільбертовому просторі $H$ можна ввести систему координат, що узагальнюють декартові координати на площині або в звичайному тривимірному евклідовому просторі. Це досягається за допомогою вибору ортонормального базису в $H.$

Система векторів $\{u_{i}:i\in I\}$ гільбертового простору $H,$ що індексується множиною $I,$ називається ортогональною, якщо $(u_{i},u_{j})=0$ для будь-яких $i\neq j\in I$ і ортонормальною, якщо додатково $(u_{i},u_{i})=1$ для будь-якого $i\in I.$

Отже, ортонормальна система складається з попарно ортогональних векторів гільбертового простору одиничної довжини. Система векторів називається повною, якщо множина їх скінчених лінійних комбінацій — щільна у $H.$

Повна ортонормальна система векторів гільбертового простору $H$ називається ортонормальним базисом у $H.$ Повнота ортонормальної системи векторів перевіряється за допомогою рівності Парсеваля, див. нижче.

Координати вектора $w\in H$ відносно даного ортонормального базису — це скаляри $a_{i}=(u_{i},w),i\in I.$ Вектор $w$ повністю визначений своїми координатами і може бути формально розкладений за елементами ортонормального базису:

$w=\sum _{i\in I}a_{i}u_{i}=\sum _{i\in I}(u_{i},w)u_{i}.$

Сепарабельні гільбертові простори утворюють найважливіший клас нескінченновимірних гільбертових просторів. Вони можуть бути охарактеризовані як такі, в яких можна обрати ортонормальний базис із зліченної множини векторів. Виявляється, що за обранням ортонормального базису $\{u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n},\ldots \},$ будь-який (нескінченовимірний) сепарабельний гільбертів простір $H$ стає ізоморфним до $l^{2}.$

Дійсно, розгляньмо відображення

$L:H\to l^{2},\quad L(v)=\{(v,u_{n}):n=1,2,\ldots \},$

яке будь-якому вектору $v\in H$ ставить у відповідність послідовність його координат відносно ортонормального базису $\{u_{n}:n\in \mathbb {N} \}.$ Тоді $L$ — це лінійне відображення, і потрібно ще переконатися, що воно є ізометрією з образом $l^{2}.$ Ці властивості випливають з наступної рівності Парсеваля.

Рівність Парсеваля

Припустимо, що $\{u_{1},u_{2},\ldots \}$ — це скінченна або зліченна ортонормальна система векторів у гільбертовому просторі $H.$ Повнота цієї системи еквівалентна виконанню наступної рівності для всіх векторів $v\in H:$

$\sum |(u_{i},v)|^{2}=(v,v),$

де сума розповсюджується на всі елементи даної системи векторів. У будь-якому разі, ряд у лівій частині цієї рівності збігається і його сума не перевищує праву частину, цей факт називається нерівністю Бесселя.

Рівність Парсеваля вперше з'явилась у дослідженні рядів Фур'є неперервних функцій на скінченному інтервалі у такому вигляді:

$2a_{0}^{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}^{2}+b_{n}^{2})={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)^{2}dx,\quad$ де

$a_{0}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)dx,\quad a_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\cos(nx)dx,\quad b_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\sin(nx)dx,\quad n\geq 1$ — коефіцієнти Фур'є дійсної функції $f(x),-\pi \leq x\leq \pi .$ За елементарними перетвореннями, з цього випливає, що комплексні експоненціальні функції $\{e^{inx}=\cos(nx)+i\sin(nx),n\in \mathbb {Z} \}$ утворюють ортонормальний базис у означеному вище комплексному гільбертовому просторі $L^{2}[-\pi ,\pi ].$

Див. також

• Банахів простір
• Теорема Ріса

Література

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — ISBN 5-9221-0266-4.(рос.)
• Березанський Ю. М., Ус Г. Ф., Шефтель З. Г. Функціональний аналіз : [укр.] = Functional Analysis, Vol. I, Kyiv : Institute of Mathematics, 2010. : [пер. з англ.] : підручник. — Л. : Видавець Чижиков І. Е., 2014. — С. 559. — (Університетська бібліотека). — ISBN 978-966-2645-12-5.
• Морен К., Методы гильбертова пространства. — М.: Мир, 1965. — 570 c.
• Банах С. Курс функціонального аналізу (лінійні операції). — К. : Радянська школа, 1948. — 216 с.(укр.)
• Вулих Б. З. Введение в функциональный анализ. — М. : Наука, 1967. — 416 с.
• Иосида К. Функциональный анализ. — М. : Мир, 1967. — 624 с.