Борелівська сигма-алгебра

Борелівська сигма-алгебра — це мінімальна сигма-алгебра, така, що містить всі відкриті підмножини топологічного простору (відповідно, вона містить і всі замкнуті). Елементи даної сигма-алгебри називаються борелівськими множинами.

Якщо не обумовлене протилежне, як топологічний простір виступає множина дійсних чисел.

Борелівська сигма-алгебра зазвичай виступає в ролі сигма-алгебри випадкових подій ймовірнісного простору.

У борелівській сигма-алгебрі на прямій або на відрізку міститься велика кількість «простих» множин: всі інтервали, напівінтервали, відрізки і їх злічені об'єднання. Алгебра була названа на честь Бореля.

Спорідненні поняття

Функція Бореля — відображення одного топологічного простору в інший (зазвичай обидва є просторами дійсних чисел, для якого прообраз будь-якої борелівської множини є борелівська множина).

Властивості

Всяка борелівська множина на відрізку є вимірною щодо міри Лебега, але зворотне невірно.

Приклад вимірної за Лебегом, але не борелівської множини

Розглянемо функцію $f(x)={\frac {1}{2}}(x+c(x))$ на відрізку $[0,\;1]$ , де $c(x)$ — функція Кантора. Міра образу множини Кантора рівна ${\frac {1}{2}}$ , а значить, міра образу її доповнення також рівна ${\frac {1}{2}}$ . Функція $f(x)$ монотонна, значить, вона вимірна і існує обернена до неї функція. Оскільки міра образу канторової множини ненульова, в ній можна знайти невимірну множину $A$ . Тоді образ $A$ при відображенні $f^{-1}$ буде вимірним (оскільки він лежить в канторовій множині, міра якої нульова), але не буде борелівською (оскільки інакше $A$ була б вимірною як прообраз борелівської множини при вимірному відображенні).