Бігармонічна функція — функція
дійсних змінних, визначена у області D евклідового простору
, що має неперервні часткові похідні 4-го порядку включно і що задовольняє в D рівнянню:
![{\displaystyle \nabla ^{4}f=\Delta ^{2}f=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9724132f8b7435e36d4d6d8e0d3458375abb1020)
де
— оператор набла,
— оператор Лапласа.
Дане рівняння називається бігармонічним рівнянням. У декартовій системі координат у випадку трьох змінних рівняння має вигляд:
![{\displaystyle {\frac {\partial ^{4}f}{\partial x^{4}}}+{\frac {\partial ^{4}f}{\partial y^{4}}}+{\frac {\partial ^{4}f}{\partial z^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}f}{\partial x^{2}\partial y^{2}}}+2{\frac {\partial ^{4}f}{\partial y^{2}\partial z^{2}}}+2{\frac {\partial ^{4}f}{\partial x^{2}\partial z^{2}}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b47183439249db0011f37bf66d8dfddbe81d0c8)
В полярних координатах:
![{\displaystyle {\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)\right)\right)+{\frac {2}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{4}f}{\partial \theta ^{2}\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r^{4}}}{\frac {\partial ^{4}f}{\partial \theta ^{4}}}-{\frac {2}{r^{3}}}{\frac {\partial ^{3}f}{\partial \theta ^{2}\partial r}}+{\frac {4}{r^{4}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \theta ^{2}}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71eb25497c5e0314e3849051ea49f920c15b696d)
Клас бігармонічних функцій включає клас гармонічних функцій і є підкласом класу полігармонічних функцій. Кожна бігармонічна функція є аналітичною функцією координат xi.
Найбільше значення з погляду застосувань мають бігармонічні функції
двох змінних. Такі бігармонічні функції записуються за допомогою гармонічних функцій f1, f2 або g1, g2 у вигляді
![{\displaystyle f(x_{1},x_{2})=x_{1}f_{1}(x_{1},x_{2})+f_{2}(x_{1},x_{2})\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69a9244497434454b7f769b48c2f08d71cf6055a)
або
![{\displaystyle f(x_{1},x_{2})=(r^{2}-r_{0}^{2})g_{1}(x_{1},x_{2})+g_{2}(x_{1},x_{2})\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f2d078e745690e35b6d69f7a48bf12f767d8378)
де
а
— константа.
Основна крайова задача для бігармонічних функцій полягає в наступному: знайти бігармонічну функцію у області D, неперервну разом з похідними 1-го порядку в замкнутій області
, що задовольняє на границі C умовам
![{\displaystyle f|_{C}=f_{1}(s),\quad {\frac {\partial f}{\partial \nu }}{\Bigg |}_{C}=f_{2}(s)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7beb4af5101a9f40e962d0bcf1acd1f8996d188)
де
— похідна по нормалі до C, f1(s), f2(s) — задані неперервні функції довжини дуги s на контурі C.
Вказані вище подання бігармонічних функцій дозволяють одержати розв'язки крайової задачі в явному вигляді у випадку круга D виходячи з інтеграла Пуассона для гармонічних функцій.
Бігармонічні функції двох змінних допускають також запис
![{\displaystyle f(x_{1},x_{2})=\operatorname {Re} ({\bar {z}}\phi (z)+\psi (z))={\frac {1}{2}}({\bar {z}}\phi (z)+z{\overline {\phi (z)}}+\psi (z)+{\overline {\psi (z)}}),\quad {\bar {z}}=x_{1}-ix_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6702d2d6cfde79bdcfafef29aafcc9bb72222d90)
за допомогою двох аналітичних функцій
комплексної змінної
. Це подання дозволяє звести крайову задачу для довільної області D до системи крайових задач для аналітичних функцій, метод розв'язку якої детально розроблений Р. В. Колосовим і Н. І. Мусхелішвілі. Ця методика одержала розвиток при розв'язуванні різних плоских задач теорії пружності, в яких основним бігармонічними функціями є функція напружень і функція Ейрі.
- Математическая энциклопедия. В пяти томах. Том 1./ Под ред. И. М. Виноградова. М.: Советская энциклопедия, 1985
- Тихонов А. Н., Самарский А. А., Уравнения математической физики, 3 изд., М., 1966, гл. 4;
- Мусхелишвили Н. И., Некоторые основные задачи математической теории упругости, 5 изд., М., 1966, гл. 2;
- Лаврентьев М. А., Шабат Б. В., Методы теории функций комплексного переменного, 3 изд., М., 1965.