Біноміальна модель оцінювання опціонів

В фінансах, біноміальна модель оцінки вартості опціонів дає чисельні методи для оцінки опціонів. Біноміальна модель була вперше запропонована Джоном Коксом, Стефеном Россом та Марком Рубінштейном у 1979 році. По суті модель "дискретно-часову" (ґраткову) модель зміни ціни базового активу чи інструменту протягом часового інтервалу. Модель отримала назву біноміальної тому, що в кожному періоді в ній передбачається існування тільки двох можливих альтернатив поточної ринкової вартості акції. Формується біноміальне дерево, що наочно ілюструє процес визначення вартості опціону.

Модель

В основі біноміальної моделі оцінки опціонів лежить елементарне формування процесу встановлення ціни опціону, за якого актив у будь-який момент часу може рухатися по одній із двох можливих траєкторій. Загальне формулювання процесу обчислення ціни опціону за біноміальною схемою, показано на малюнку і відбувається виконанням трьох кроків:

1. Генерування дерева-процесу ціни базового активу (зображено на малюнку),
2. Обчислення вартості опціона в кожному кінцевому вузлі дерева, $C_{T}=\max\{S_{T}-K,0\}$,
3. Рекурентне обчислення вартості опціону для кожного попереднього вузла, $C_{t}$, методом знаходження математичного сподівання майбутньої вартості опціону. При цьому важливо використовувати так звану ризик-нейтральну імовірність.

На цьому малюнку $S$ – це ціна акції при виконанні опціону. Ціна може зрости до ціни $Su$ з імовірністю $p$ або впасти до ціни $Sd$ з імовірністю $q=1-p$ у будь-який момент часу. При заданій фізичній імовірності і коефіцієнтами зростання і падіння $u$ та $d$ ризик-нейтральна імовірність обчислюється за формулою:

${\tilde {p}}={\frac {1+r-d}{u-d}}\ \ \ \ \ \ {\tilde {q}}={\frac {u-1-r}{u-d}}$

Де $r$ — без ризикова процентна ставка. При цьому зауважте, що для того щоб ${\tilde {q}}$ і ${\tilde {p}}$ були додатними імовірностями має виконуватися умова $0<d<1+r<u$, але вона автоматично задовольняється якщо накласти умову відсутності арбітражу.

Загальне формулювання шляху зміни ціни в біноміальній моделі

Мета створення імітуючого портфеля використовуючи комбінацію без ризикової позики та базового активу для створення грошового потоку, аналогічного грошовому потоку що створюється оцінюваним опціоном. У цьому випадку застосовуються принцип не арбітражу, і вартість опціону повинна бути рівною вартості портфеля-імітатора. У загальному формулюванні, представленому на рисунку, де ціна акції може рухатися вгору до $Su$ або вниз до $Sd$ в будь-який момент часу, портфель-імітатор для кол-опціону з ціною виконання $K$ передбачає позику $B$ одиниць за без ризиковою ставкою і придбання $\Delta$ одиниць базового активу, де

$\displaystyle \Delta ={\frac {C_{u}-C_{d}}{Su-Sd}}$

$C_{u}$ = вартість кол-опціону, якщо ціна акції дорівнює $Su$, $C_{d}$ = вартість кол-опціону, якщо ціна акції дорівнює $Sd$.

Рекурентне обчислення

У біноміальному дереві з багатьма періодами оцінка повинна проводитися на рекурентній основі (тобто починаючи із останнього періоду та рухаючись назад у часі до теперішнього моменту). Портфелі, що імітують опціон, створюються для кожного кроку та кожного разу оцінюються, це дає можливість визначити вартість опціону в цей час. Заключний результат біноміальної моделі оцінки опціону – це визначення вартості опціону в одиницях імітуючого портфеля, складеного з акцій базового активу та без ризикової позики.

Формула для рекурентного обчислення вартості опціона:

$C_{t-1}(x)={\frac {1}{1+r}}\left({\tilde {p}}C_{t}(xu)+{\tilde {q}}C_{t}(xd)\right)$

де $x=\{u,d\}$.

Зв'язок моделі з моделлю Блека-Шоулза

Оскільки обидві моделі базуються на тих самих припущеннях, то біноміальна модель є по суті дискретизацією моделі Блека-Шоулза. І, справді у випадку Європейського опціону без дивідендів біноміальна модель прямує до моделі Блека-Шоулза при збільшенні кількості часових інтервалів. Цю збіжність моделі отримують від збіжностей імовірнісних розподілів, що використовуються в кожній з них. Біноміальна модель за розподіл базового активу бере біноміальний розподіл, який при збільшенні кількості спостережень ($n\to \infty$) прямує до нормального, який є розподілом базового активу в моделі Блека-Шоулза