Біноміальний розподіл

Біноміальний розподіл
Функція ймовірностей
Функція розподілу ймовірностей Кольори збігаються з попереднім малюнком
Параметри	$n\geq 0$ кількість випробувань (ціле) $0\leq p\leq 1$ ймовірність успіху (дійсне)
Носій функції	$k\in \{0,\dots ,n\}\!$
Розподіл імовірностей	${n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}\!$
Функція розподілу ймовірностей (cdf)	$I_{1-p}(n-\lfloor k\rfloor ,1+\lfloor k\rfloor )\!$
Середнє	$np\!$
Медіана	одне із $\{\lfloor np\rfloor -1,\lfloor np\rfloor ,\lceil np\rceil \}$
Мода	$\lfloor (n+1)\,p\rfloor \!$
Дисперсія	$np(1-p)\!$
Коефіцієнт асиметрії	${\frac {1-2p}{\sqrt {np(1-p)}}}\!$
Коефіцієнт ексцесу	${\frac {1-6p(1-p)}{np(1-p)}}\!$
Ентропія	${\frac {1}{2}}\ln \left(2\pi nep(1-p)\right)+O\left({\frac {1}{n}}\right)$
Твірна функція моментів (mgf)	$(1-p+pe^{t})^{n}\!$
Характеристична функція	$(1-p+pe^{it})^{n}\!$
Інформація за Фішером	$g_{n}(p)={\frac {n}{pq}}$ (для незмінного $n$)

Дискретна випадкова величина ξ називається такою, що має біноміальний розподіл, якщо ймовірність набуття нею конкретних значень має вигляд: $P(\xi =k)=C_{n}^{k}p^{k}q^{n-k},k=0,1,...n$, де $p,n$ — параметри, що визначають розподіл, $p\in [0,1],q=1-p,n\in \mathbb {N}$.

Позначається ${\mathcal {L}}(\xi )=Bi(n,p)$.

Біноміальний розподіл є дискретним розподілом імовірностей із параметрами n і p для кількості успішних результатів, що мають двійкове значення у послідовності із n незалежних експериментів, для кожного з яких ставиться питання "так або ні". Імовірність виникнення успішного результату для кожного випробування задається параметром p, а імовірність виникнення не успішного результату відповідно дорівнюватиме q = 1 − p.

Єдиний успішний чи не успішний експеримент також називають випробуванням Бернуллі або експериментом Бернуллі, а послідовність результатів таких експериментів називаються процесом Бернуллі; для однократного випробування, тобто, при n = 1, біноміальний розподіл є розподілом Бернуллі. Біноміальний розподіл є основою загальновживаної біноміальної перевірки статистичної значущості.

Біноміальний розподіл часто використовують для моделювання кількості успішних експериментів у вибірці розміром в n, де експерименти виконуються із поповненням із сукупності розміром N. Якщо відбір вибірки відбуватиметься без поповнення, тоді такі експерименти не будуть незалежними і їх результатний розподіл буде гіпергеометричним, а не біноміальним. Однак, для випадку, коли N набагато більше за n, біноміальний розподіл використовують, оскільки він залишається добрим наближенням.

Пояснення

В теорії ймовірностей та математичній статистиці, біноміальний розподіл є дискретним ймовірнісним розподілом, що характеризує кількість успіхів в послідовності експериментів, значення яких змінюється за принципом так/ні, кожен з яких набуває успіху з ймовірністю p. Такі так/ні експерименти також називаються експериментами Бернуллі, або схемою Бернуллі, зокрема, якщо n=1 (кількість випробувань), то отримаємо Розподіл Бернуллі.

Означення

Функція імовірностей

У загальному випадку, якщо випадкова величина X відповідає біноміальному розподілу із параметрами n ∈ ℕ і p ∈ [0,1], записують X ~ B(n, p). Імовірність випадання точно k успішних випадків при n випробуваннях задається наступною функцією маси імовірності:

$f(k,n,p)=\Pr(k;n,p)=\Pr(X=k)={\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}$

для k = 0, 1, 2, ..., n, де

${\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}$

це біноміальний коефіцієнт, названий так само як і сам розподіл. Цю формулу можна розуміти таким чином. k успішних випадків виникають із імовірністю p^k і n − k не успішних результатів випадають із імовірністю (1 − p)^n − k. Однак, k успішних результатів можуть виникнути в будь-який момент серед даних n випробувань, тому існує ${\binom {n}{k}}$ різних способів розподілення k успішних випадків у послідовності з n спроб.

При створенні довідникових таблиць для біноміального розподілу, як правило таблицю заповнюють значеннями до n/2. Це тому що для k > n/2, можна розрахувати як імовірність для її доповнення, таким чином

$f(k,n,p)=f(n-k,n,1-p).$

Якщо розглядати вираз f(k, n, p) як функцію від k, повинно існувати таке значення k, яке максимізує її. Це значення k можна знайти, якщо розрахувати:

${\frac {f(k+1,n,p)}{f(k,n,p)}}={\frac {(n-k)p}{(k+1)(1-p)}}$

і прирівняти до 1. Завжди існуватиме ціле число M яке задовольняє умові

$(n+1)p-1\leq M<(n+1)p.$

f(k, n, p) є монотонно зростаючою при k < M і монотонно спадною для k > M, за винятком випадку де (n + 1)p є цілим. В даному випадку, існує два значення в яких f є максимальною: (n + 1)p і (n + 1)p − 1. M є найбільш імовірним результатом із усіх випробувань Бернуллі і називається модою.

Функція розподілу

Кумулятивна функція розподілу можна задати таким чином:

$F(k;n,p)=\Pr(X\leq k)=\sum _{i=0}^{\lfloor k\rfloor }{n \choose i}p^{i}(1-p)^{n-i}$

де $\lfloor k\rfloor \,$ — найбільше ціле число, яке менше або дорівнює k.

Її також можна задати за допомогою регуляризованої неповної бета-функції, таким чином:

${\begin{aligned}F(k;n,p)&=\Pr(X\leq k)\\&=I_{1-p}(n-k,k+1)\\&=(n-k){n \choose k}\int _{0}^{1-p}t^{n-k-1}(1-t)^{k}\,dt.\end{aligned}}$

Числові характеристики

Зважаючи на співвідношення між біноміальним розподілом і розподілом Бернуллі, наведені нижче, а також на властивості математичного сподівання і дисперсії, можна отримати числові характеристики для біноміального розподілу без громіздких обчислень.

Математичне сподівання

Якщо X ~ B(n, p), така що, X є біноміально-розподіленою випадковою величиною для якої, n - загальна кількість експериментів, а p це імовірність що кожен експеримент призведе до успішного результату, тоді математичне сподівання для X дорівнюватиме:

$\operatorname {E} [X]=np.$

Наприклад, якщо n = 100, а p = 1/4, тоді середньою кількістю успішних випробувань буде 25.

Доведення: Розрахуємо середнє, μ, прямим способом виходячи із його визначення

$\mu =\sum _{i=0}^{n}x_{i}p_{i},$

і з теореми про біном Ньютона:

${\begin{aligned}\mu &=\sum _{k=0}^{n}k{\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}\\&=np\sum _{k=0}^{n}k{\frac {(n-1)!}{(n-k)!k!}}p^{k-1}(1-p)^{(n-1)-(k-1)}\\&=np\sum _{k=1}^{n}{\frac {(n-1)!}{((n-1)-(k-1))!(k-1)!}}p^{k-1}(1-p)^{(n-1)-(k-1)}\\&=np\sum _{k=1}^{n}{\binom {n-1}{k-1}}p^{k-1}(1-p)^{(n-1)-(k-1)}\\&=np\sum _{\ell =0}^{n-1}{\binom {n-1}{\ell }}p^{\ell }(1-p)^{(n-1)-\ell }&&{\text{із }}\ell :=k-1\\&=np\sum _{\ell =0}^{m}{\binom {m}{\ell }}p^{\ell }(1-p)^{m-\ell }&&{\text{із }}m:=n-1\\&=np(p+(1-p))^{m}\\&=np\end{aligned}}$

Середнє також можна вивести із рівняння $X=X_{1}+\cdots +X_{n}$ де всі $X_{i}$ є випадковими величинами із розподілом Бернуллі із $E[X_{i}]=p$ ($X_{i}=1$ якщо i-ий експеримент є успішним і $X_{i}=0$ навпаки). Отримаємо: $E[X]=E[X_{1}+\cdots +X_{n}]=E[X_{1}]+\cdots +E[X_{n}]=\underbrace {p+\cdots +p} _{n{\text{ times}}}=np$

Дисперсія

дисперсія біноміально-розподіленої випадкової величини:

$\operatorname {D} (X)=np(1-p).$

Доведення: Нехай $X=X_{1}+\cdots +X_{n}$ де всі $X_{i}$ є незалежними випадковими величинами із розподілом Бернуллі. Оскільки $\operatorname {D} (X_{i})=p(1-p)$, отримаємо:

$\operatorname {D} (X)=\operatorname {D} (X_{1}+\cdots +X_{n})=\operatorname {D} (X_{1})+\cdots +\operatorname {D} (X_{n})=n\operatorname {D} (X_{1})=np(1-p).$

Мода

Як правило мода біноміального розподілу B(n, p) дорівнює $\lfloor (n+1)p\rfloor$, де $\lfloor \cdot \rfloor$ позначає функцію округлення до найбільшого цілого числа, яке менше або дорівнює (тобто найближчого цілого числа, яке менше або дорівнює заданому числу. Однак, коли (n + 1)p є цілим, а p не є не 0 ні 1, тоді розподіл має дві моди: (n + 1)p і (n + 1)p − 1. Коли p дорівнює 0 або 1, тоді мода дорівнюватиме 0 і n відповідно. Ці випадки можна узагальнити таким чином:

${\text{Мода}}={\begin{cases}\lfloor (n+1)\,p\rfloor &{\text{, якщо }}(n+1)p{\text{ дорівнює 0 або не є цілим}},\\(n+1)\,p\ {\text{ і }}\ (n+1)\,p-1&{\text{, якщо }}(n+1)p\in \{1,\dots ,n\},\\n&{\text{, якщо }}(n+1)p=n+1.\end{cases}}$

Доведення: Нехай

$f(k)={\binom {n}{k}}p^{k}q^{n-k}.$

Для $p=0$ лише $f(0)$ матиме не нульове значення $f(0)=1$. Для $p=1$ маємо, що $f(n)=1$ і $f(k)=0$ для $k\neq n$. Це доводить, що мода дорівнює 0 для $p=0$ і $n$ для $p=1$.

Нехай $0<p<1$. Знайдемо, що

${\frac {f(k+1)}{f(k)}}={\frac {(n-k)p}{(k+1)(1-p)}}$.

З цього випливає

${\begin{aligned}k>(n+1)p-1\Rightarrow f(k+1)<f(k)\\k=(n+1)p-1\Rightarrow f(k+1)=f(k)\\k<(n+1)p-1\Rightarrow f(k+1)>f(k)\end{aligned}}$

Тож коли $(n+1)p-1$ є цілим, тоді $(n+1)p-1$ і $(n+1)p$ є модою. У випадку, коли $(n+1)p-1\notin \mathbb {Z}$, тоді модою буде лише $\lfloor (n+1)p-1\rfloor +1=\lfloor (n+1)p\rfloor$.

Медіана

Загалом, не існує єдиної формули для знаходження медіани біноміального розподілу, крім того вона може бути не унікальною. Однак існує декілька результатів для особливих випадків:

• Якщо np ціле число, тоді середнє, медіана і мода збігаються між собою і дорівнюють np.
• Будь-яка медіана m обов'язково знаходиться в середині інтервалу ⌊np⌋ ≤ m ≤ ⌈np⌉.
• Медіана m не може знаходитися далеко від середнього: |m − np| ≤ min{ ln 2, max{p, 1 − p} }.
• Медіана буде єдиною і дорівнюватиме m = округлене(np) якщо |m − np| ≤ min{p, 1 − p} (крім випадку, коли p = 1/2 та n є непарними).
• Якщо p = 1/2 та n непарні, будь-яке число m у інтервалі 1/2(n − 1) ≤ m ≤ 1/2(n + 1) є медіаною біноміального розподілу. Якщо p = 1/2 і n парні, тоді m = n/2 є єдиною медіаною.

Коваріація між двома біноміальними розподілами

Якщо одночасно спостерігалися дві біноміально розподілені випадкові величини X і Y, може бути корисним визначити їх коваріацію. Коваріація це

$\operatorname {Cov} (X,Y)=\operatorname {E} (XY)-\mu _{X}\mu _{Y}.$

У випадку коли n = 1 (у випадку із схемою випробувань Бернуллі) XY не нульове лише коли обидві X і Y є одиницею, а μ_X і μ_Y дорівнюють двом імовірностям. Якщо визначити p_B як імовірність виникнення обох подій одночасно, отримаємо

$\operatorname {Cov} (X,Y)=p_{B}-p_{X}p_{Y},$

і для n незалежних попарних випробувань

$\operatorname {Cov} (X,Y)_{n}=n(p_{B}-p_{X}p_{Y}).$

Якщо X і Y є однією і тією ж випадковою величиною, цей вираз спрощується до виразу визначення дисперсії, який наведено вище в цій статті.

Зв'язок з іншими розподілами

Нехай незалежні випадкові величини $\xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{n}$ мають розподіл Бернуллі з параметром p, тобто ${\mathcal {L}}(\xi _{i})=B(p),i={\overline {1,n}}$, тоді випадкова величина $\xi =\sum _{i=1}^{n}\xi _{i}$ має біноміальний розподіл з параметрами p, n, тобто ${\mathcal {L}}(\xi )=Bi(n,p)$.

Сума біноміально-розподілених величин

Якщо X ~ B(n, p) і Y ~ B(m, p) є незалежними випадковими величинами із біноміальним розподілом із однаковою ймовірністю p, тоді X + Y також буде біноміально-розподіленою величиною, і її розподілом буде Z=X+Y ~ B(n+m, p):

${\begin{aligned}\operatorname {P} (Z=k)&=\sum _{i=0}^{k}\left[{\binom {n}{i}}p^{i}(1-p)^{n-i}\right]\left[{\binom {m}{k-i}}p^{k-i}(1-p)^{m-k+i}\right]\\&={\binom {n+m}{k}}p^{k}(1-p)^{n+m-k}\end{aligned}}$

Однак, якщо X і Y не мають однакової імовірності p, тоді дисперсія суми величин буде меншою за дисперсію випадкової величини із біноміальним розподілом вигляду $B(n+m,{\bar {p}}).\,$

Відношення двох біноміальних розподілів

Нехай p₁ і p₂ це імовірності успішного випробування у біноміальних розподілах B(X,n) і B(Y,m) відповідно. Нехай T = (X/n)/(Y/m).

Тоді log(T) є наближено нормально розподіленою величиною із середнім log(p₁/p₂) і дисперсією ((1/p₁) - 1)/n + ((1/p₂) - 1)/m.

Умовні біноміальні величини

Якщо є X ~ B(n, p) і, при X існує деяка умовна величина Y ~ B(X, q), тоді Y є простою біноміальною величиною із розподілом Y ~ B(n, pq).

Наприклад, уявімо, що хтось кидає n м'ячів у кошик U_X і виймає ті м'ячі, які успішно потрапили у кошик та кладе їх у інший кошик U_Y. Якщо p означає імовірність влучити в U_X тоді X ~ B(n, p) це кількість м'ячів, які влучили у U_X. Якщо q це імовірність потрапити у U_Y тоді кількістю м'ячів, які потраплять у U_Y буде Y ~ B(X, q) і таким чином Y ~ B(n, pq).

[Доведення]

Оскільки $X\sim B(n,p)$ і $Y\sim B(X,q)$, за формулою повної імовірності,

${\begin{aligned}\Pr[Y=m]&=\sum _{k=m}^{n}\Pr[Y=m\mid X=k]\Pr[X=k]\\[2pt]&=\sum _{k=m}^{n}{\binom {n}{k}}{\binom {k}{m}}p^{k}q^{m}(1-p)^{n-k}(1-q)^{k-m}\\\end{aligned}}$

Оскільки ${\tbinom {n}{k}}{\tbinom {k}{m}}={\tbinom {n}{m}}{\tbinom {n-m}{k-m}},$, то вищенаведене рівняння можна записати в такій формі

$\Pr[Y=m]=\sum _{k=m}^{n}{\binom {n}{m}}{\binom {n-m}{k-m}}p^{k}q^{m}(1-p)^{n-k}(1-q)^{k-m}$

Розбивши на множники $p^{k}=p^{m}p^{k-m}$ і виділивши всі множники, які не залежать від $k$ суму можна звести до такого:

${\begin{aligned}\Pr[Y=m]&={\binom {n}{m}}p^{m}q^{m}\left(\sum _{k=m}^{n}{\binom {n-m}{k-m}}p^{k-m}(1-p)^{n-k}(1-q)^{k-m}\right)\\[2pt]&={\binom {n}{m}}(pq)^{m}\left(\sum _{k=m}^{n}{\binom {n-m}{k-m}}\left(p(1-q)\right)^{k-m}(1-p)^{n-k}\right)\end{aligned}}$

Замінивши $i=k-m$ у вищенаведеному виразі, отримаємо

$\Pr[Y=m]={\binom {n}{m}}(pq)^{m}\left(\sum _{i=0}^{n-m}{\binom {n-m}{i}}(p-pq)^{i}(1-p)^{n-m-i}\right)$

Помітимо, що вищенаведена сума (у дужках) дорівнює $(p-pq+1-p)^{n-m}$ відповідно до теореми про біном Ньютона. Підставивши це у вираз, зрештою отримаємо

${\begin{aligned}\Pr[Y=m]&={\binom {n}{m}}(pq)^{m}(p-pq+1-p)^{n-m}\\[4pt]&={\binom {n}{m}}(pq)^{m}(1-pq)^{n-m}\end{aligned}}$

і таким чином $Y\sim B(n,pq)$, що і треба було довести.

Розподіл Бернуллі

Розподіл Бернуллі є особливим випадком біноміального розподілу, де n = 1. Символічно, X ~ B(1, p) має однакове середнє як і X ~ B(p). І навпаки, будь-який біноміальний розподіл, B(n, p), є розподілом суми із n випробувань Бернуллі, B(p), кожне з яких має однакову імовірність p.

Нормальне наближення

Біноміальна функція маси імовірності і апроксимація функції густини імовірностей нормального розподілу для n = 6 і p = 0.5

Якщо n є досить великим, тоді зсув біноміального розподілу не буде дуже великим. В такому випадку нормальний розподіл може бути виправданим наближенням для B(n, p).

${\mathcal {N}}(np,\,np(1-p)),$

а це базове наближення можна покращити використавши вдалу поправку для неперервності. Базове наближення значно стає кращим при збільшенні n (принаймні більше ніж 20) і буде кращим, коли p не є близькою до 0 або 1. Можуть використовуватися різні емпіричні правила, які визначають чи є n достатньо великою, а значення p є досить далеким від крайніх значень нуля або одиниці:

• Одне із правил говорить, що для n > 5 нормальне наближення буде адекватним, якщо абсолютне значення зсуву є строго меншим ніж 1/3; тобто, якщо

${\frac {|1-2p|}{\sqrt {np(1-p)}}}={\frac {1}{\sqrt {n}}}\left|{\sqrt {\frac {1-p}{p}}}-{\sqrt {\frac {p}{1-p}}}\,\right|<{\frac {1}{3}}.$

• Більш посилене правило говорить, що нормальна апроксимація буде прийнятною лише якщо всі можливі значення знаходяться в межах 3 стандартних відхилень від середнього значення; тобто, лише якщо

$\mu \pm 3\sigma =np\pm 3{\sqrt {np(1-p)}}\in (0,n).$

Це правило про 3-стандартні відхилення буде еквівалентне наступним наведеним умовам, які також зумовлюють виконання і першого правила, описаного вище.

$n>9\,{\frac {1-p}{p}}\quad {\hbox{і}}\quad n>9\,{\frac {p}{1-p}}.$

[Доведення]

Правило $np\pm 3{\sqrt {np(1-p)}}\in (0,n)$ є повністю еквівалентним вимозі, що

$np-3{\sqrt {np(1-p)}}>0\quad {\hbox{і}}\quad np+3{\sqrt {np(1-p)}}<n.$

Якщо переставити множники отримаємо:

$np>3{\sqrt {np(1-p)}}\quad {\hbox{і}}\quad n(1-p)>3{\sqrt {np(1-p)}}.$

Оскільки $0<p<1$, ми можемо піднести вирази у квадрат і поділити на відповідні множники $np^{2}$ та $n(1-p)^{2}$, і отримаємо бажані умови:

$n>9\,{\frac {1-p}{p}}\quad {\hbox{і}}\quad n>9\,{\frac {p}{1-p}}.$

Зауважимо, що ці умови автоматично означають, що $n>9$. З іншого боку, знову застосувавши квадратний корінь до нерівностей і поділивши на 3,

${\frac {\sqrt {n}}{3}}>{\sqrt {\frac {1-p}{p}}}>0\quad {\hbox{і}}\quad {\frac {\sqrt {n}}{3}}>{\sqrt {\frac {p}{1-p}}}>0.$

Віднявши другий набір нерівностей із першого, отримаємо:

${\frac {\sqrt {n}}{3}}>{\sqrt {\frac {1-p}{p}}}-{\sqrt {\frac {p}{1-p}}}>-{\frac {\sqrt {n}}{3}};$

тож, необхідне перше правило буде виконуватися,

$\left|{\sqrt {\frac {1-p}{p}}}-{\sqrt {\frac {p}{1-p}}}\,\right|<{\frac {\sqrt {n}}{3}}.$

• Іншим загальновживаним правилом є те, що обидва значення $np$ і $n(1-p)$ мають бути більшими або дорівнювати 5. Однак, конкретне значення цього числа зустрічається різним в різних джерелах, і залежить від того наскільки хорошим має бути наближення. Зокрема, якщо використати значення 9 замість наведеного 5, правило призводить до результатів, що отримані в попередній частині розділу.

[Доведення]

Припустимо, що обидва значення $np$ і $n(1-p)$ є більшими за число 9. Оскільки $0<p<1$, ми можемо стверджувати, що

$np\geq 9>9(1-p)\quad {\hbox{і}}\quad n(1-p)\geq 9>9p.$

Тепер необхідно лише поділити це на відповідні множники $p$ і $1-p$, аби вивести альтернативну форму правила про 3-стандартні відхилення:

$n>9\,{\frac {1-p}{p}}\quad {\hbox{і}}\quad n>9\,{\frac {p}{1-p}}.$

Наведемо приклад застосування поправку неперервності. Припустимо, що необхідно розрахувати Pr(X ≤ 8) для біноміально-розподіленої випадкової величини X. Якщо Y має розподіл заданий у вигляді нормального наближення, тоді Pr(X ≤ 8) можна наблизити за допомогою Pr(Y ≤ 8.5). Додавання 0.5 є поправкою неперервності; нормальне наближення без поправки дає менш точний результат.

Це наближення відоме як Локальна теорема Муавра — Лапласа, вона дозволяє значно зекономити час, якщо розрахунки виконуються вручну (точний розрахунок при великих n є дуже обтяжливим); історично, це було першим застосуванням нормального розподілу, яке було представлено у книзі Абрахама де Муавра Доктрина шансів в 1738. Сьогодні, її можна розглядати як наслідок із центральної граничної теореми оскільки B(n, p) є сумою із n незалежних, однаково розподілених випадкових величин із розподілом Бернуллі із параметром p. Цей факт є основою для перевірки статистичних гіпотез, "пропорційного z-тесту", для значення p використовуючи розрахунок x/n, що є пропорцією вибірки і оцінкою для p у загальних статистичних перевірках.

Наприклад, припустимо, що хтось зробив вибірку по n людям із усієї популяції людей і запитав їх чи погоджуються вони з певним твердженням. Частка людей, яка погодиться з висловлюванням очевидно буде залежати від вибірки. Якщо групи із n людей були обрані повторно і дійсно випадковим чином, ця пропорція буде відповідати наближеному нормальному розподілу із середнім, що дорівнює істинному співвідношенню p того що люди погоджуються із твердженням в цій сукупності і матиме стандартне відхилення $\sigma ={\sqrt {\frac {p(1-p)}{n}}}$

Наближення Пуассона

Біноміальний розподіл наближається до Розподілу Пуассона якщо кількість спроб зростає до нескінченності в той час як добуток np залишається незмінним або p прямує до нуля. Тому, розподіл Пуассона із параметром λ = np може використовуватися для наближення біноміального розподілу B(n, p) якщо n має досить велике значення і p значно мала. Відповідно до двох правил, це наближення є добрим, якщо n ≥ 20 і p ≤ 0.05, або якщо n ≥ 100 і np ≤ 10.

Граничні розподіли

• Теорема Пуассона: З тим як n наближається до ∞ і p наближається до 0 при сталому добутку np, Біноміальний розподіл B(n, p) наближається до розподілу Пуассона із математичним сподіванням λ = np.
• Локальна теорема Муавра — Лапласа: З тим як n наближається до ∞ поки p залишається сталим, розподіл величини

${\frac {X-np}{\sqrt {np(1-p)}}}$

наближається до нормального розподілу із математичним сподіванням 0 і дисперсією 1. Цей результат в не суворій формі іноді формулюють як те, що розподіл величини X буде асимптотично нормальним із математичним сподіванням np і дисперсією np(1 − p). Цей результат є особливим випадком центральної граничної теореми.

Бета-розподіл

Бета-розподіли дозволяють мати сімейство апріорних розподілів імовірностей для біноміальних розподілів при Баєсовому виведенні:

$P(p;\alpha ,\beta )={\frac {p^{\alpha -1}(1-p)^{\beta -1}}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}$.

Див. також

• Розподіл Бернуллі
• Розподіл ймовірностей
• Схема Бернуллі
• Функція розподілу ймовірностей

Джерела

• Гнєденко Б. В. Курс теорії ймовірностей. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2010. — 464 с.
• Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2007. — 504 с.
• Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. В. Теория вероятностей и математическая статистика. — Київ : Вища школа, 1988. — 436 с.(рос.)