Варіація функції

Варіацією функції називається числова характеристика функції однієї дійсної змінної, пов'язана з її диференціальними властивостями. Для функції з відрізка на дійсній прямій в $\mathbb {R} ^{n}$ є узагальненням поняття довжини кривої.

Означення

Нехай $f:[a,\;b]\to \mathbb {R} ^{n}$. Тоді варіацією (також повною варіацією або повною зміною) функції $f$ на відрізку $[a,\;b]$ називається наступна величина:

$V_{a}^{b}f\,{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\sup \limits _{P}\sum \limits _{k=0}^{m}\|f(x_{k+1})-f(x_{k})\|,$

тобто точна верхня грань за всіма розбиттями відрізка $[a,\;b]$ довжин ламаних у $\mathbb {R} ^{n}$, кінці яких відповідають значенням $f$ у точках розбиття.

Пов'язані означення

• Функції, варіація яких обмежена на відрізку, називаються функціями обмеженої варіації, а клас таких функцій позначається $V[a,\;b]$ або просто $V$.
  • У такому випадку визначена функція $v(x)=V_{a}^{x}f$, що називається функцією повної варіації для $f$.
• Додатна варіація дійснозначної функції $f$ на відрізку $[a,\;b]$ називається наступна величина:

  $P_{a}^{b}f\,{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\sup \limits _{P}\sum \limits _{k=0}^{m}\max\{0,\;f(x_{k+1})-f(x_{k})\}.$

• Аналогічно означається від'ємна варіація функції:

  $N_{a}^{b}f\,{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}-\inf \limits _{P}\sum \limits _{k=0}^{m}\min\{0,\;f(x_{k+1})-f(x_{k})\}.$

• Таким чином повна варіація функції може бути представлена ​​у вигляді суми

  $V_{a}^{b}f=P_{a}^{b}f+N_{a}^{b}f.$

Властивості функцій обмеженої варіації

• Сума і добуток функцій обмеженої варіації теж будуть мати обмежену варіацію. Частка двох функцій з $V$ буде мати обмежену варіацію (іншими словами, належати класу $V$), якщо модуль знаменника на відрізку $[a,\;b]$ буде більше, ніж позитивна стала.
• Якщо $a<x\leqslant y<b$, а $f\in V[a,\;b]$, то $V_{a}^{x}f+V_{x}^{y}f=V_{a}^{y}f$.
• Якщо функція $f$ неперервна в точці $a$ справа і належить $V[a,\;b]$, то $\lim \limits _{x\to a{+}}v(x)=0$.
• Функція $f(x)$, задана на відрізку $[a,\;b]$, є функцією обмеженої варіації тоді й тільки тоді, коли вона може бути представлена у вигляді суми зростаючої і спадаючої на $[a,\;b]$ функції (розклад Жордана).
• Будь-яка функція обмеженої варіації обмежена і може мати не більше ніж зліченну множину точок розриву, причому всі першого роду.
• Функція обмеженої варіації може бути представлена ​​у вигляді суми абсолютно неперервної функції, сингулярної функції та функції стрибків (розклад Лебега).

Всі ці властивості були встановлені Жорданом.

Обчислення варіації

Варіація неперервно диференційовної функції

Якщо функція $f:[a,\;b]\to \mathbb {R} ^{n}$ належить до класу $C^{1}$, тобто має неперервну похідну першого порядку на відрізку $[a,\;b]$, то $f$ — функція обмеженої варіації на цьому відрізку, а варіація обраховується за формулою:

$\int \limits _{a}^{b}\|f^{\prime }(x)\|\,dx,$

тобто рівна інтегралу норми похідної.

Історія

Функції обмеженої варіації вивчалися К. Жорданом.

Спочатку клас функцій з обмеженою варіацією був введений К. Жорданом у зв'язку з узагальненням ознаки Діріхле збіжності рядів Фур'є кусково монотонних функцій. Жордан довів, що ряди Фур'є $2\pi$-періодичних функцій класу $V[0,\;2\pi ]$ збігаються в кожній точці дійсної осі. Проте надалі функції обмеженої варіації знайшли широке застосування в різноманітних галузях математики, особливо в теорії інтеграла Стілтьєса.

Узагальнення

Довжина кривої означається як природне узагальнення варіації на випадок відображень у метричний простір.

У випадку декількох змінних існує кілька різних означень варіації функції:

• варіація Фреше,
• плоска варіація Тонеллі.

Φ-варіація функції

Властивості

Якщо розглядати дві функції $\Phi _{1}(x)$ і $\Phi _{2}(x)$ такі, що

$\varlimsup _{x\to 0^{+}}{\frac {\Phi _{1}(x)}{\Phi _{2}(x)}}<\infty ,$

то для їх $\Phi$-варіацій справедливе відношення:

$V_{\Phi _{2}}[a,\;b]\subset V_{\Phi _{1}}[a,\;b].$

Зокрема,

$V_{x^{p}}\subset V_{x^{q}}\subset V_{\exp(-x^{-\alpha })}\subset V_{\exp(-x^{-\beta })}$

при $1\leqslant p<q<\infty ,\;0<\alpha <\beta <\infty$.

Див. також

• Варіаційне числення
• Інтеграл Стілтьєса

Література

• Лебег, А. Интегрирование и отыскание примитивных функций.
• Натансон, И. П. Теория функций вещественной переменной.
• Бари, Н. К. Тригонометрические ряды.