Вейвлети Добеші

2-д вейвлети Добеші

Вейвлети Добеші (англ. Daubechies wavelet), засновані на роботі Інгрід Добеші, являють собою сімейство ортогональних вейвлетів, що визначають дискретне вейвлет-перетворення і характеризується максимальною кількістю зникаючих моментів для деякого заданого носія функції. З кожним вейвлетом, який є типом цього класу, є функція масштабування (так званий батько вейвлет, англ. father wavelet), який генерує прямокутний кратномасштабний аналіз.

Властивості

У загальному випадку, вибирають вейвлети Добеші, щоб мати найвище число зникаючих моментів А, (це не означає кращу плавність) для заданої ширини носія функції 2А-1. Використовують дві схеми іменування, DN з використанням довжини, або кількості відводів та dbA з посиланням на число зникаючих моментів. Таким чином, D4 і db2 такі ж вейвлет-перетворення. Серед 2^A−1 можливих рішень алгебраїчних рівнянь для моменту і ортогональності умови, то вибирається рішення, у якого масштабуючий фільтр має екстремальну фазу. Вейвлет-перетворення також легко реалізувати на практиці за допомогою швидкого вейвлет-перетворення. Вейвлети Добеші широко використовуються при вирішенні широкого кола завдань, наприклад, самоподібні властивості сигналу, або фрактальні проблеми, сигнальні розриви і т. д. Вейвлети Добеші не визначені в термінах отриманого масштабування та вейвлет-функцій; насправді, їх не можливо записати в замкненому вигляді. Графіки нижче генеруються з використанням алгоритму каскаду, числовий метод, що складається з простого зворотного перетворення [1 0 0 0 0 …] відповідну кількість разів.

масштабування і вейлет функції
діапозон частот спектра ціх функцій

Слід зазначити, що спектри, показані тут не частотна характеристика високих і низьких частот фільтрів, а скоріше амплітуди безперервних перетворень Фур'є масштабування (синій) і вейвлет-функцій (червоний) . Ортогональні вейвлети Добеші D2-D20 відповідно DB1-DB10 також використовуються. Номер індексу відноситься до числа N коефіцієнтів. Кожен вейвлет має число нульових моментів або зникаючих моментів, які рівні половині числу коефіцієнтів. Так, наприклад, D2 (Гаарів вейвлет) має один зникаючий момент, D4 має два і т. д. Зникаючий момент обмежує здатність вейвлетів представляти поліноміальну поведінку, або інформацію в сигналі. Так, наприклад, D2, з одним моментом, легко кодує поліноми одного коефіцієнта, або постійні складові сигналу. D4 кодує поліноми з двома коефіцієнтами, тобто постійні та лінійні складові сигналу; і D6 кодує 3-поліноми, тобто постійні, лінійні та квадратичні складові сигналу. Ця здатність шифрувати, однак схильна до такого явища, як втрата масштабу, а також відсутність не змінного переміщення, який піднімається від дискретного процесу перемикання (нижче) під час застосування перетворення. Суб-послідовність, яка представляє собою лінійні та квадратичні складові сигналу (наприклад), по різному оброблюється перетворенням, в залежності від вирівнювання точки з парним, або непарним розташуванням в послідовності. Відсутність важливої ​​властивості незмінного переміщення, призвела до розробки декількох різних версій незмінного переміщення (дискретного) вейвлет-перетворення.

Побудова

І послідовність масштабування (фільтр нижніх частот), і послідовність вейвлета (смуговий фільтр) (див. ортогональний вейвлет для деталей цієї конструкції) будуть нормалізовані, щоб мати суму, еквівалентну 2 і суму квадратів рівну 2. У деяких випадках їх нормалізують, для того, щоб мати суму ${\sqrt {2}}$, так що обидві послідовності і всі їх переміщення парним числом коефіцієнтів, ортонормовані один до одного. Використовуючи загальне уявлення для послідовності масштабування ортогонального дискретного вейвлет-перетворення з порядком апроксимації А, $a(Z)=2^{1-A}(1+Z)^{A}\,p(Z)$ з N = 2А, р має дійсні коефіцієнти, р(1) = 1 і ступінь (р) = A-1, таким чином можна записати умову ортогональності як

$a(Z)\,a(Z^{-1})+a(-Z)\,a(-Z^{-1})=4$,

або як

$(2-X)^{A}P(X)+X^{A}\,P(2-X)=2^{A}$ (*), с многочленом Лорана $X:=1/2\cdot (2-Z-Z^{-1})$,

який породжує всі симетричні послідовності та $X(-Z)=2-X(Z)$. Потім, P(X) означає симетричний многочлен Лорана $P(X(Z))=p(Z)p(Z^{-1})$. Оскільки, $X(e^{iw})=1-cos(w)$ і $p(e^{iw})p(e^{-iw})=|p(e^{iw})|^{2}$, P приймає невід'ємні значення на відрізку [0,2]. Рівняння (*) має одне мінімальне рішення для кожного A, яке можна отримати шляхом ділення в кільці усіченого степеневого ряду в X,

$P_{A}(X)=\sum _{k=0}^{A-1}\left({{A+k-1} \atop {A-1}}\right)2^{-k}X^{k}$.

Очевидно, воно приймає позитивні значення на проміжку (0,2). Однорідне рівняння для (*) антисиметричне при X=1 і таким чином, існує загальне рішення $X^{A}(X-1)R((X-1)^{2})$, де R будь-який многочлен с дійсними коефіцієнтами. Ця сума

$P(X)=P_{A}(X)+X^{A}(X-1)R((X-1)^{2})$

повинна бути невід'ємною на проміжку [0,2] і перекладається в набір лінійних обмежень на коефіцієнти R. Значення P на проміжку [0,2], обмежені деякою кількістю $4^{A-r}$, збільшення rприводить до лінійної програми с нескінченим числом умов нерівності. Для вирішення $P(X(Z))=p(Z)p(Z^{-1})$ для p, використовується техніка, яка називається спектральне розкладання відповідно (Fejér-Riesz-algorithm). Многочлен P(X) розкладається на лінійні множники $P(X)=(X-\mu _{1})\dots (X-\mu _{N})$, N=A+1+2deg(R). Кожний лінійний множник відображує многочлен Лорана $(X(Z)-\mu )=-{\frac {1}{2}}Z+1-\mu -{\frac {1}{2}}Z^{-1}$, який можна розкласти на два лінійні множники. Можна призначити p(Z) будь-яким одним із двох лінійних множників, таким чином, виходить 2^N можливих рішень. Для екстремальної фази вибираємо те рішення, яке має всі комплексні корені p(Z) всередині або на одиничному колі. Для вейвлет-перетворення Добеші, використовується пара лінійних фільтрів. Ця пара фільтрів повинна мати властивість, яка називається квадратурний дзеркальний фільтр. Для вирішення коефіцієнта лінійного фільтра $c_{i}$ використовуються властивості квадратурних дзеркальних фільтрів, які випливають в наведеному нижче рішенні для значень коефіцієнта фільтра 4-го порядку. $c_{0}={\frac {1+{\sqrt {3}}}{4{\sqrt {2}}}}$ $c_{1}={\frac {3+{\sqrt {3}}}{4{\sqrt {2}}}}$ $c_{2}={\frac {3-{\sqrt {3}}}{4{\sqrt {2}}}}$ $c_{3}={\frac {1-{\sqrt {3}}}{4{\sqrt {2}}}}$

Масштабні послідовності в найнижчому порядку наближення

Нижче наведені коефіцієнти для функцій масштабування для D2-20. Вейвлет-коефіцієнти отриманні шляхом зміни порядку коефіцієнтів функції масштабування, а потім заміна знаку кожного другого, (тобто, Д4 вейвлет = {-0,1830127, -0,3169873, 1,1830127, -0,6830127}). Математично це виглядає як $b_{k}=(-1)^{k}a_{N-1-k}$ , де k є індексом коефіцієнта, b — коефіцієнт послідовності вейвлета і а коефіцієнт масштабування послідовності. N є індексом вейвлета, тобто, 2 для D2.

Ортогональні коефіцієнти Добеші (нормалізовані для, того щоб мати суму 2)

D2 (Гаарів вейвлет)	D4	D6	D8	D10	D12	D14	D16	D18	D20
1	0.6830127	0.47046721	0.32580343	0.22641898	0.15774243	0.11009943	0.07695562	0.05385035	0.03771716
1	1.1830127	1.14111692	1.01094572	0.85394354	0.69950381	0.56079128	0.44246725	0.34483430	0.26612218
	0.3169873	0.650365	0.89220014	1.02432694	1.06226376	1.03114849	0.95548615	0.85534906	0.74557507
	-0.1830127	-0.19093442	-0.03957503	0.19576696	0.44583132	0.66437248	0.82781653	0.92954571	0.97362811
		-0.12083221	-0.26450717	-0.34265671	-0.31998660	-0.20351382	-0.02238574	0.18836955	0.39763774
		0.0498175	0.0436163	-0.04560113	-0.18351806	-0.31683501	-0.40165863	-0.41475176	-0.35333620
			0.0465036	0.10970265	0.13788809	0.1008467	6.68194092e-4	-0.13695355	-0.27710988
			-0.01498699	-0.00882680	0.03892321	0.11400345	0.18207636	0.21006834	0.18012745
				-0.01779187	-0.04466375	-0.05378245	-0.02456390	0.043452675	0.13160299
				4.71742793e-3	7.83251152e-4	-0.02343994	-0.06235021	-0.09564726	-0.10096657
					6.75606236e-3	0.01774979	0.01977216	3.54892813e-4	-0.04165925
					-1.52353381e-3	6.07514995e-4	0.01236884	0.03162417	0.04696981
						-2.54790472e-3	-6.88771926e-3	-6.67962023e-3	5.10043697e-3
						5.00226853e-4	-5.54004549e-4	-6.05496058e-3	-0.01517900
							9.55229711e-4	2.61296728e-3	1.97332536e-3
							-1.66137261e-4	3.25814671e-4	2.81768659e-3
								-3.56329759e-4	-9.69947840e-4
								5.5645514e-5	-1.64709006e-4
									1.32354367e-4
									-1.875841e-5

Частини цієї конструкції також використовуються для виведення біортогональних Коена-Добеші-Феювіан вейвлетів (CDFS).

Реалізація

У той час як програмне забезпечення, таке, як Mathematica підтримує вейвлети Добеші безпосередньо, базова реалізація проста в MATLAB (в даному випадку, Добеші 4). Ця реалізація використовує періодизацію, щоб впоратися з проблемою кінцевої довжини сигналу. Інші, більш складні методи доступні, але часто немає необхідності використовувати їх, оскільки це впливає тільки на самий кінець перетворення сигналу. Періодизація виконується безпосередньо в прямому напрямку перетворення в MATLAB векторній системі численні, а також зворотнє перетворення за допомогою функції circshift ():

Перетворення, D4

Передбачається, що S, стовпець вектора з парним числом елементів, що був попередньо визначений, як сигнал для аналізу. Зауважимо, що коефіцієнти D4 є [1+sqrt(3), 3+sqrt(3), 3-sqrt(3), 1-sqrt(3)]/4.

N = length(S);
s1 = S(1:2:N-1) + sqrt(3)*S(2:2:N);
d1 = S(2:2:N) - sqrt(3)/4*s1 - (sqrt(3)-2)/4*[s1(N/2); s1(1:N/2-1)];
s2 = s1 - [d1(2:N/2); d1(1)];
s = (sqrt(3)-1)/sqrt(2) * s2;
d = (sqrt(3)+1)/sqrt(2) * d1;

Зворотнє перетворення, D4

d1 = d * ((sqrt(3)-1)/sqrt(2));
s2 = s * ((sqrt(3)+1)/sqrt(2));
s1 = s2 + circshift(d1,-1);
S(2:2:N) = d1 + sqrt(3)/4*s1 + (sqrt(3)-2)/4*circshift(s1,1);
S(1:2:N-1) = s1 - sqrt(3)*S(2:2:N);

Джерела

• Ingrid Daubechies: Ten Lectures on Wavelets, SIAM 1992
• A.N. Akansu, An Efficient QMF-Wavelet Structure [Архівовано 14 жовтня 2008 у Wayback Machine.] (Binomial-QMF Daubechies Wavelets), Proc. 1st NJIT Symposium on Wavelets, April 1990
• Proc. 1st NJIT Symposium on Wavelets, Subbands and Transforms, April 1990 [Архівовано 22 травня 2011 у Wayback Machine.]
• A.N. Akansu, R.A. Haddad and H. Caglar, Perfect Reconstruction Binomial QMF-Wavelet Transform [Архівовано 18 вересня 2016 у Wayback Machine.], Proc. SPIE Visual Communications and Image Processing, pp. 609–618, Lausanne, Sept. 1990
• Carlos Cabrelli, Ursula Molter [Архівовано 9 грудня 2016 у Wayback Machine.]: Generalized Self-similarity", Journal of Mathematical Analysis and Applications, 230: 251—260, 1999.
• Hardware implementation of wavelets
• Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), wavelets Daubechies wavelets, Математична енциклопедія, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• I. Kaplan, The Daubechies D4 Wavelet Transform [Архівовано 1 серпня 2017 у Wayback Machine.].