На анімації зображено процес виділення квадрату В елементарній алгебрі виділення квадрату — це методика перетворення квадратного тричлена.
a
x
2
+
b
x
+
c
{\displaystyle ax^{2}+bx+c}
до вигляду
a
(
x
−
h
)
2
+
k
{\displaystyle a(x-h)^{2}+k}
де h і k — це деякі значення.
Виділення квадрату використовується при
В математиці виділення квадрату часто використовується в різних обчисленнях із застосуванням квадратних тричленів.
Формула з елементарної алгебри для обчислення квадрата двочлена:
(
x
+
p
)
2
=
x
2
+
2
p
x
+
p
2
.
{\displaystyle (x+p)^{2}\,=\,x^{2}+2px+p^{2}.}
Наприклад:
(
x
+
3
)
2
=
x
2
+
6
x
+
9
(
p
=
3
)
(
x
−
5
)
2
=
x
2
−
10
x
+
25
(
p
=
−
5
)
.
{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}(x+3)^{2}\,&=\,x^{2}+6x+9&&(p=3)\\[3pt](x-5)^{2}\,&=\,x^{2}-10x+25\qquad &&(p=-5).\end{alignedat}}}
У будь-якому повному квадраті, коефіцієнт біля х у два рази перевищує число p , а вільний член дорівнює p 2 .
Розглянемо наступний квадратний поліном :
x
2
+
10
x
+
28.
{\displaystyle x^{2}+10x+28.}
Він не є повним квадратом, оскільки 28 не квадрат числа 5:
(
x
+
5
)
2
=
x
2
+
10
x
+
25.
{\displaystyle (x+5)^{2}\,=\,x^{2}+10x+25.}
Однак, можна цей тричлен представити у вигляді суми повного квадрату і числа:
x
2
+
10
x
+
28
=
(
x
+
5
)
2
+
3.
{\displaystyle x^{2}+10x+28\,=\,(x+5)^{2}+3.}
Це і називається виділенням повного квадрату .
Розглянемо довільний квадратний тричлен з коефіцієнтом при старшому члені 1 (нормований тричлен):
x
2
+
b
x
+
c
,
{\displaystyle x^{2}+bx+c,}
а також квадрат двочлена
(
x
+
1
2
b
)
2
=
x
2
+
b
x
+
1
4
b
2
.
{\displaystyle \left(x+{\tfrac {1}{2}}b\right)^{2}\,=\,x^{2}+bx+{\tfrac {1}{4}}b^{2}.}
Ці тричлени відрізняються тільки на сталу величину — в них різні вільні члени. Таким чином, ми можемо написати
x
2
+
b
x
+
c
=
(
x
+
1
2
b
)
2
+
k
,
{\displaystyle x^{2}+bx+c\,=\,\left(x+{\tfrac {1}{2}}b\right)^{2}+k,}
де
k
=
c
−
b
2
4
{\displaystyle k\,=\,c-{\frac {b^{2}}{4}}}
виділенням квадрату .
Наприклад:
x
2
+
6
x
+
11
=
(
x
+
3
)
2
+
2
x
2
+
14
x
+
30
=
(
x
+
7
)
2
−
19
x
2
−
2
x
+
7
=
(
x
−
1
)
2
+
6.
{\displaystyle {\begin{alignedat}{1}x^{2}+6x+11\,&=\,(x+3)^{2}+2\\[3pt]x^{2}+14x+30\,&=\,(x+7)^{2}-19\\[3pt]x^{2}-2x+7\,&=\,(x-1)^{2}+6.\end{alignedat}}}
Розглянемо квадратний тричлен вигляду
a
x
2
+
b
x
+
c
{\displaystyle ax^{2}+bx+c}
Винесемо коефіцієнт при старшому члені за дужки, отримаємо випадок, описаний вище.
Приклад:
3
x
2
+
12
x
+
27
=
3
(
x
2
+
4
x
+
9
)
=
3
(
(
x
+
2
)
2
+
5
)
=
3
(
x
+
2
)
2
+
15
{\displaystyle {\begin{aligned}3x^{2}+12x+27&=3(x^{2}+4x+9)\\&{}=3\left((x+2)^{2}+5\right)\\&{}=3(x+2)^{2}+15\end{aligned}}}
Це дозволяє нам представити довільний квадратний тричлен у формі
a
(
x
−
h
)
2
+
k
.
{\displaystyle a(x-h)^{2}+k.}
Для виділення повного квадрату можна використовувати формули. Для загального випадку:[ 1]
a
x
2
+
b
x
+
c
=
a
(
x
−
h
)
2
+
k
,
де
h
=
−
b
2
a
та
k
=
c
−
a
h
2
=
c
−
b
2
4
a
.
{\displaystyle ax^{2}+bx+c\;=\;a(x-h)^{2}+k,\quad {\text{де}}\quad h=-{\frac {b}{2a}}\quad {\text{та}}\quad k=c-ah^{2}=c-{\frac {b^{2}}{4a}}.}
Зокрема, коли а = 1:
x
2
+
b
x
+
c
=
(
x
−
h
)
2
+
k
,
де
h
=
−
b
2
і
k
=
c
−
b
2
4
.
{\displaystyle x^{2}+bx+c\;=\;(x-h)^{2}+k,\quad {\text{де}}\quad h=-{\frac {b}{2}}\quad {\text{і}}\quad k=c-{\frac {b^{2}}{4}}.}
Матричний вигляд дуже схожий:
x
T
A
x
+
x
T
b
+
c
=
(
x
−
h
)
T
A
(
x
−
h
)
+
k
де
h
=
−
1
2
A
−
1
b
і
k
=
c
−
1
4
b
T
A
−
1
b
{\displaystyle x^{\mathrm {T} }Ax+x^{\mathrm {T} }b+c=(x-h)^{\mathrm {T} }A(x-h)+k\quad {\text{де}}\quad h=-{\frac {1}{2}}A^{-1}b\quad {\text{і}}\quad k=c-{\frac {1}{4}}b^{\mathrm {T} }A^{-1}b}
де
A
{\displaystyle A}
Якщо
A
{\displaystyle A}
h
{\displaystyle h}
k
{\displaystyle k}
h
=
−
(
A
+
A
T
)
−
1
b
і
k
=
c
−
h
T
A
h
=
c
−
b
T
(
A
+
A
T
)
−
1
A
(
A
+
A
T
)
−
1
b
{\displaystyle h=-(A+A^{\mathrm {T} })^{-1}b\quad {\text{і}}\quad k=c-h^{\mathrm {T} }Ah=c-b^{\mathrm {T} }(A+A^{\mathrm {T} })^{-1}A(A+A^{\mathrm {T} })^{-1}b}
В аналітичній геометрії , графік будь-якої квадратичної функції є парабола в ху -площині. Враховуючи вигляд квадратного тричлена
(
x
−
h
)
2
+
k
або
a
(
x
−
h
)
2
+
k
{\displaystyle (x-h)^{2}+k\quad {\text{або}}\quad a(x-h)^{2}+k}
числа h та k можуть бути інтерпретовані як декартові координати вершини параболи. Тобто, h — це х -координата осі симетрії (наприклад, вісь симетрії має рівняння х = h ), і k — це мінімальне значення (або максимальне значення, Якщо а < 0) квадратичної функції.
Один зі способів переконатися у цьому — зверніть увагу, що графік функції ƒ (х ) = х 2 є парабола з вершиною в початку координат (0, 0). Таким чином, графік функції ƒ (x − h ) = (x − h )2 є парабола зміщена вправо на h з вершиною в (h , 0), як показано у верхній частині малюнка. На відміну від попереднього графіка функції, ƒ (х ) + k = x 2 + k — це парабола зміщена вгору на k з вершиною в (0, k ), як показано в центрі малюнка. Поєднання горизонтального і вертикального зміщень дає ƒ (x − h ) + k = (x − h )2 + k, при якому парабола зсувається вправо на h і вгору на k з вершиною в (h , k ), як показано на нижньому малюнку.
Виділення квадрату може бути використане для розв'язання будь-якого квадратного рівняння . Наприклад:
x
2
+
6
x
+
5
=
0
,
{\displaystyle x^{2}+6x+5=0,}
Виділимо повний квадрат:
(
x
+
3
)
2
−
4
=
0.
{\displaystyle (x+3)^{2}-4=0.}
Звідси маємо, що:
(
x
+
3
)
2
=
4.
{\displaystyle (x+3)^{2}=4.}
Тому
x
+
3
=
−
2
або
x
+
3
=
2
,
{\displaystyle x+3=-2\quad {\text{або}}\quad x+3=2,}
і тому
x
=
−
5
або
x
=
−
1.
{\displaystyle x=-5\quad {\text{або}}\quad x=-1.}
Це може бути застосовано до будь-якого квадратного рівняння. Коли коефіцієнт при х 2 відмінний від 1, першим кроком є поділ на рівняння на цей коефіцієнт.
На відміну від методів, пов'язаних з розкладанням рівняння на множники, яке є надійним, тільки якщо корені раціональні , виділенням квадрату знайдемо корені квадратного рівняння навіть якщо ці корені є ірраціональними або комплексними . Наприклад, розглянемо рівняння
x
2
−
10
x
+
18
=
0.
{\displaystyle x^{2}-10x+18=0.}
Виділення квадрата дає
(
x
−
5
)
2
−
7
=
0
,
{\displaystyle (x-5)^{2}-7=0,}
отже
(
x
−
5
)
2
=
7.
{\displaystyle (x-5)^{2}=7.}
Потім
x
−
5
=
−
7
або
x
−
5
=
7
,
{\displaystyle x-5=-{\sqrt {7}}\quad {\text{або}}\quad x-5={\sqrt {7}},}
Лаконічніше:
x
−
5
=
±
7
.
{\displaystyle x-5=\pm {\sqrt {7}}.}
Отже,
x
=
5
±
7
.
{\displaystyle x=5\pm {\sqrt {7}}.}
Рівнянь з комплексними коренями можуть бути розв'язані таким же чином. Наприклад:
x
2
+
4
x
+
5
=
0
(
x
+
2
)
2
+
1
=
0
(
x
+
2
)
2
=
−
1
x
+
2
=
±
i
x
=
−
2
±
i
.
{\displaystyle {\begin{array}{c}x^{2}+4x+5\,=\,0\\[6pt](x+2)^{2}+1\,=\,0\\[6pt](x+2)^{2}\,=\,-1\\[6pt]x+2\,=\,\pm i\\[6pt]x\,=\,-2\pm i.\end{array}}}
Для незведених квадратних рівнянь першим кроком до їх розв'язання є розділити на коефіцієнт при х 2 . Наприклад:
2
x
2
+
7
x
+
6
=
0
x
2
+
7
2
x
+
3
=
0
(
x
+
7
4
)
2
−
1
16
=
0
(
x
+
7
4
)
2
=
1
16
x
+
7
4
=
1
4
or
x
+
7
4
=
−
1
4
x
=
−
3
2
or
x
=
−
2.
{\displaystyle {\begin{array}{c}2x^{2}+7x+6\,=\,0\\[6pt]x^{2}+{\tfrac {7}{2}}x+3\,=\,0\\[6pt]\left(x+{\tfrac {7}{4}}\right)^{2}-{\tfrac {1}{16}}\,=\,0\\[6pt]\left(x+{\tfrac {7}{4}}\right)^{2}\,=\,{\tfrac {1}{16}}\\[6pt]x+{\tfrac {7}{4}}={\tfrac {1}{4}}\quad {\text{or}}\quad x+{\tfrac {7}{4}}=-{\tfrac {1}{4}}\\[6pt]x=-{\tfrac {3}{2}}\quad {\text{or}}\quad x=-2.\end{array}}}
Виділення квадрату може бути використане для обчислення інтегралів виду
∫
d
x
a
x
2
+
b
x
+
c
{\displaystyle \int {\frac {dx}{ax^{2}+bx+c}}}
з використанням основних інтегралів
∫
d
x
x
2
−
a
2
=
1
2
a
ln
|
x
−
a
x
+
a
|
+
C
і
∫
d
x
x
2
+
a
2
=
1
a
arctan
(
x
a
)
+
C
.
{\displaystyle \int {\frac {dx}{x^{2}-a^{2}}}={\frac {1}{2a}}\ln \left|{\frac {x-a}{x+a}}\right|+C\quad {\text{і}}\quad \int {\frac {dx}{x^{2}+a^{2}}}={\frac {1}{a}}\arctan \left({\frac {x}{a}}\right)+C.}
Наприклад, розглянемо інтеграл
∫
d
x
x
2
+
6
x
+
13
.
{\displaystyle \int {\frac {dx}{x^{2}+6x+13}}.}
Виділення квадрата в знаменнику дає:
∫
d
x
(
x
+
3
)
2
+
4
=
∫
d
x
(
x
+
3
)
2
+
2
2
.
{\displaystyle \int {\frac {dx}{(x+3)^{2}+4}}\,=\,\int {\frac {dx}{(x+3)^{2}+2^{2}}}.}
Це може бути обчислено з допомогою підстановки у = х + 3, яка дає
∫
d
x
(
x
+
3
)
2
+
4
=
1
2
arctan
(
x
+
3
2
)
+
C
.
{\displaystyle \int {\frac {dx}{(x+3)^{2}+4}}\,=\,{\frac {1}{2}}\arctan \left({\frac {x+3}{2}}\right)+C.}
Розглянемо вираз
|
z
|
2
−
b
∗
z
−
b
z
∗
+
c
,
{\displaystyle |z|^{2}-b^{*}z-bz^{*}+c,}
де z і b є комплексними числами , z * і b * є комплексно спряжені до z , та b , відповідно, а c — це дійсне число . Використовуючи властивість |у |2 = уу * , ми можемо переписати вираз як
|
z
−
b
|
2
−
|
b
|
2
+
c
,
{\displaystyle |z-b|^{2}-|b|^{2}+c,}
що має дійсне значення. Це відбувається тому, що
|
z
−
b
|
2
=
(
z
−
b
)
(
z
−
b
)
∗
=
(
z
−
b
)
(
z
∗
−
b
∗
)
=
z
z
∗
−
z
b
∗
−
b
z
∗
+
b
b
∗
=
|
z
|
2
−
z
b
∗
−
b
z
∗
+
|
b
|
2
.
{\displaystyle {\begin{aligned}|z-b|^{2}&{}=(z-b)(z-b)^{*}\\&{}=(z-b)(z^{*}-b^{*})\\&{}=zz^{*}-zb^{*}-bz^{*}+bb^{*}\\&{}=|z|^{2}-zb^{*}-bz^{*}+|b|^{2}.\end{aligned}}}
Розглянемо інший приклад, вираз
a
x
2
+
b
y
2
+
c
,
{\displaystyle ax^{2}+by^{2}+c,}
де a , b , c , x і y — дійсні числа, причому а > 0 і b > 0, може бути виражена як квадрат абсолютного значення комплексного числа. Визначимо
z
=
a
x
+
i
b
y
.
{\displaystyle z={\sqrt {a}}\,x+i{\sqrt {b}}\,y.}
Тоді
|
z
|
2
=
z
z
∗
=
(
a
x
+
i
b
y
)
(
a
x
−
i
b
y
)
=
a
x
2
−
i
a
b
x
y
+
i
b
a
y
x
−
i
2
b
y
2
=
a
x
2
+
b
y
2
,
{\displaystyle {\begin{aligned}|z|^{2}&{}=zz^{*}\\&{}=({\sqrt {a}}\,x+i{\sqrt {b}}\,y)({\sqrt {a}}\,x-i{\sqrt {b}}\,y)\\&{}=ax^{2}-i{\sqrt {ab}}\,xy+i{\sqrt {ba}}\,yx-i^{2}by^{2}\\&{}=ax^{2}+by^{2},\end{aligned}}}
отже,
a
x
2
+
b
y
2
+
c
=
|
z
|
2
+
c
.
{\displaystyle ax^{2}+by^{2}+c=|z|^{2}+c.}
Матриця М є ідемпотентною , якщо М 2 = М . Ідемпотентні матриці узагальнюють ідемпотентні властивості 0 і 1. Виділення квадрату в рівнянні
a
2
+
b
2
=
a
,
{\displaystyle a^{2}+b^{2}=a,}
показує, що деякими ідемпотентними 2 × 2 матрицями параметризують коло в (А, B )-площині.
Матриця
(
a
b
b
1
−
a
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\b&1-a\end{pmatrix}}}
a
2
+
b
2
=
a
,
{\displaystyle a^{2}+b^{2}=a,}
(
a
−
1
2
)
2
+
b
2
=
1
4
.
{\displaystyle (a-{\tfrac {1}{2}})^{2}+b^{2}={\tfrac {1}{4}}.}
В (А, B )-площині — це рівняння кола з центром у точці (1/2, 0) і радіусом 1/2.
Розглянемо виділення квадрату для рівняння
x
2
+
b
x
=
a
.
{\displaystyle x^{2}+bx=a.}
Оскільки х 2 являє собою площу квадрата зі стороною довжини х і bx являє собою площу прямокутника зі сторонами b і x , процес виділення квадрата можна розглядати як візуальні маніпуляції прямокутників.
Прості спроби об'єднати квадрат х 2 і прямокутник bx у великий квадрат не дають результату. Доданок (b /2)2 потрібно додати до кожної сторони рівняння — це саме та ділянка, якої не вистачає до повного квадрату, звідки походить термін «виділити квадрат».
Зазвичай повний квадрат складається з трьох складових, додамо v 2 до
u
2
+
2
u
v
{\displaystyle u^{2}+2uv}
щоб отримати квадрат. Є також випадки, в яких можна додати середній член тричлена, або 2uv або −2uv , щоб
u
2
+
v
2
{\displaystyle u^{2}+v^{2}}
стало повним квадратом.
[ ред. | ред. код ] Написавши
x
+
1
x
=
(
x
−
2
+
1
x
)
+
2
=
(
x
−
1
x
)
2
+
2
{\displaystyle {\begin{aligned}x+{1 \over x}&{}=\left(x-2+{1 \over x}\right)+2\\&{}=\left({\sqrt {x}}-{1 \over {\sqrt {x}}}\right)^{2}+2\end{aligned}}}
ми бачимо, що сума числа х і оберненого до нього числа завжди більше або дорівнює 2. Квадрат виразу завжди більше або дорівнює нулю, коли х дорівнює 1.
[ ред. | ред. код ] Розглянемо проблему розкладання на множники многочлена
x
4
+
324.
{\displaystyle x^{4}+324.}
Запишемо його у вигляді
(
x
2
)
2
+
(
18
)
2
,
{\displaystyle (x^{2})^{2}+(18)^{2},}
тому середній член 2(х 2 )(18) = 36х 2 . Таким чином, ми отримуємо
x
4
+
324
=
(
x
4
+
36
x
2
+
324
)
−
36
x
2
=
(
x
2
+
18
)
2
−
(
6
x
)
2
=
різниця квадратів двох виразів
=
(
x
2
+
18
+
6
x
)
(
x
2
+
18
−
6
x
)
=
(
x
2
+
6
x
+
18
)
(
x
2
−
6
x
+
18
)
{\displaystyle {\begin{aligned}x^{4}+324&{}=(x^{4}+36x^{2}+324)-36x^{2}\\&{}=(x^{2}+18)^{2}-(6x)^{2}={\text{різниця квадратів двох виразів}}\\&{}=(x^{2}+18+6x)(x^{2}+18-6x)\\&{}=(x^{2}+6x+18)(x^{2}-6x+18)\end{aligned}}}
^{2}\,&=\,x^{2}-10x+25\qquad &&(p=-5).\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e22c4c34904778f055746900c6f939fc3d29aff2)
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{1}x^{2}+6x+11\,&=\,(x+3)^{2}+2\\[3pt]x^{2}+14x+30\,&=\,(x+7)^{2}-19\\[3pt]x^{2}-2x+7\,&=\,(x-1)^{2}+6.\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e905c1705aff97d23a6f09c27d5bb99a1693007e)
^{2}+1\,=\,0\\[6pt](x+2)^{2}\,=\,-1\\[6pt]x+2\,=\,\pm i\\[6pt]x\,=\,-2\pm i.\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d58b55ab950dc35a66612eabf42d288ae3c2d0a)
![{\displaystyle {\begin{array}{c}2x^{2}+7x+6\,=\,0\\[6pt]x^{2}+{\tfrac {7}{2}}x+3\,=\,0\\[6pt]\left(x+{\tfrac {7}{4}}\right)^{2}-{\tfrac {1}{16}}\,=\,0\\[6pt]\left(x+{\tfrac {7}{4}}\right)^{2}\,=\,{\tfrac {1}{16}}\\[6pt]x+{\tfrac {7}{4}}={\tfrac {1}{4}}\quad {\text{or}}\quad x+{\tfrac {7}{4}}=-{\tfrac {1}{4}}\\[6pt]x=-{\tfrac {3}{2}}\quad {\text{or}}\quad x=-2.\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2ee0335f9fc70a9d6f1e911da0051ad9970811c)
