Квадратична формула

Коріння квадратичної функції y = 1/2x² − 3x + 5/2 — це місця, де граф перетинає вісь x, значення x = 1 та x = 5. Їх можна знайти за допомогою квадратичної формули.

В елементарній алгебрі, квадратична формула (англ. Quadratic formula) — це вираз замкненої форми, що описує розв'язки задачі квадратного рівняння. Інші способи розв'язання квадратних рівнянь, такі як виділення квадрату, дають однакові рішення.

Дано загальне квадратне рівняння виду $\textstyle ax^{2}+bx+c=0$, де $x$ представляє невідоме, а коефіцієнти $a$, $b$ і $c$ представляють відомі дійсні або комплексні числа при $a\neq 0$. Значення $x$, яке називається коренем або нулем, можна знайти використовуючи квадратичну формулу,

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}},$

де символ плюс-мінус «$\pm$» вказує на те, що рівняння має два корені. Ось вони, окремо написані:

$x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}},\qquad x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.$

Частина $\textstyle \Delta =b^{2}-4ac$ відома як дискримінант квадратного рівняння. Якщо коефіцієнти $a$, $b$ та $c$ є дійсними числами тоді при $\Delta >0$, рівняння має два різні дійсні корені; при ${1}$, рівняння має один дійсний повторюваний корінь; і при $\Delta <0$, рівняння не має дійсних коренів, але має два різні комплексні корені, які є комплексно спряженими один одному.

Геометрично, корені представляють собою значення $x$, при яких графік квадратичної фукнції $\textstyle y=ax^{2}+bx+c$, парабола, перетинає вісь $x$: х-перетинів графіку. Квадратична формула також може бути використана для визначення вісь симетрії параболи.

Виведення шляхом виділення квадрату

Щоб виділити квадрат, сформуйте квадратний двочлен у лівій частині квадратного рівняння, з якого можна знайти розв'язок, взявши квадратний корінь з обох сторін.

Стандартний спосіб виведення квадратичної формули полягає в застосуванні методу виділення квадрату до загального квадратного рівняння $\textstyle ax^{2}+bx+c=0$. Ідея полягає в тому, щоб перетворити рівняння до вигляду $\textstyle (x+k)^{2}=s$ для деяких виразів $k$ та $s$, записаних через коефіцієнти, взяти квадратний корінь з обох сторін, а потім виділити $x$.

Почнемо з ділення рівняння на квадратичний коефіцієнт $a$, що дозволено, оскільки $a$ не є нулем. Потім ми віднімаємо постійний член $c/a$, щоб виділити його в правій частині:

${\begin{aligned}ax^{2{\vphantom {|}}}+bx+c&=0\\[3mu]x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}&=0\\[3mu]x^{2}+{\frac {b}{a}}x&=-{\frac {c}{a}}.\end{aligned}}$

Ліва частина тепер має вигляд $\textstyle x^{2}+2kx$, і ми можемо «виділити квадрат», додавши константу $\textstyle k^{2}$ для отримання двочлена в квадраті $\textstyle x^{2}+2kx+k^{2}={}$​$\textstyle (x+k)^{2}$. У цьому прикладі ми додаємо $\textstyle (b/2a)^{2}$ в обидві сторони, щоб можна було факторизувати ліву частину (див. зображення):

${\begin{aligned}x^{2}+2\left({\frac {b}{2a}}\right)x+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}&=-{\frac {c}{a}}+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}\\[5mu]\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}&={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}.\end{aligned}}$

Оскільки ліва частина тепер є ідеальним квадратом, ми можемо легко взяти квадратний корінь з обох сторін:

$x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}.$

Нарешті, віднімання $b/2a$ з обох сторін для виділення $x$ дає квадратичну формулу:

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.$

Еквівалентні формулювання

Квадратична формула може бути еквівалентно записана за допомогою різних альтернативних виразів, наприклад

$x=-{\frac {b}{2a}}\pm {\sqrt {\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {c}{a}}}},$

який можна отримати, спочатку розділивши квадратне рівняння на $2a$, в результаті чого отримаємо $\textstyle {\tfrac {1}{2}}x^{2}+{\tfrac {b}{2a}}x+{\tfrac {c}{2a}}=0$, а потім підставляємо нові коефіцієнти у стандартну квадратичну формулу. Оскільки цей варіант дозволяє повторно використовувати проміжно розраховану кількість ${\tfrac {b}{2a}}$, це може дещо зменшити кількість арифметики.

Квадратний корінь у знаменнику

Менш відома квадратична формула, вперше згадана Джуліо Фаньяно, описує ті ж самі корені за допомогою рівняння з квадратним коренем у знаменнику (припускаючи, що $c\neq 0$):

$x={\frac {2c}{-b\mp {\sqrt {b^{2}-4ac}}}}.$

Тут знак мінус-плюс «$\mp$» вказує на те, що двома коренями квадратного рівняння, в тому ж порядку, що і у стандартної квадратичної формули, є

$x_{1}={\frac {2c}{-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}},\qquad x_{2}={\frac {2c}{-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}}.$

Див. також

• Основна теорема алгебри
• Теорема Вієта

Примітки

• Smith, David Eugene (1923), History of Mathematics, т. 2, Boston: Ginn
• Irving, Ron (2013), Beyond the Quadratic Formula, MAA, ISBN 978-0-88385-783-0