Відносна внутрішність

У математиці, відносна внутрішність множини — це удосконалення поняття внутрішньості, яке часто більш корисне, коли маємо справу з маловимірними множинами, розташованими у багатовимірному просторі. Інтуїтивно, відносна внутрішність множини містить усі точки, які не на «межі» множини, відносно найменшого підпростору, в якому вона лежить.

Формально, відносна внутрішність множини S (позначається $\operatorname {relint} (S)$) визначена як її внутрішність у афінній оболонці S. Інакше кажучи,

$\operatorname {relint} (S):=\{x\in S:\exists \epsilon >0,N_{\epsilon }(x)\cap \operatorname {aff} (S)\subseteq S\},$

де $\operatorname {aff} (S)$ — це афінна оболонка S і $N_{\epsilon }(x)$ — куля радіусу $\epsilon$ із центром у $x$. Для побудови можна використовувати будь-яку метрику; всі метрики визначають одну й ту саму множину як відносну внутрішність.

Для будь-якої непорожньої опуклої множини $C\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ відносну внутрішність можна визначити як

$\operatorname {relint} (C):=\{x\in C:\forall {y\in C}\;\exists {\lambda >1}:\lambda x+(1-\lambda )y\in C\}.$

Приклад

Розглянемо квадрат у $(x_{1},x_{2})$-площині в $\mathbb {R} ^{3},$ визначений як

$C=\{x\in \mathbb {R} ^{3}|-1\leq x_{1}\leq 1,-1\leq x_{2}\leq 1,x_{3}=0\}.$

Його афінна оболонка це $(x_{1},x_{2})$-площина, тобто, $\operatorname {aff} (C)=\{x\in \mathbb {R} ^{3}|x_{3}=0\}.$ Внутрішність $C$ є порожньою, але відносна внутрішність така

$\operatorname {relint} (C)=\{x\in \mathbb {R} ^{3}|-1<x_{1}<1,-1<x_{2}<1,x_{3}=0\}.$

Її границя (у $\mathbb {R} ^{3}$) це сама множина; її відносна границя це її обрис,

$\{x\in \mathbb {R} ^{3}|\operatorname {max} \{|x_{1}|,|x_{2}|\}=1,x_{3}=0\}.$