Куля

Куля з витнутою 1/8 і позначенням радіусу

Куля — тіло, утворене обертанням круга навколо його діаметра. Центром кулі називають центр круга, обертанням якого її утворено. Відрізок, який сполучає центр кулі з довільною точкою її поверхні, — радіус кулі. Відрізок, який сполучає дві довільні точки поверхні кулі, — її хорда. Хорда кулі, яка проходить через центр, — діаметр кулі.

Куля може бути закритою (включати точки на межі які утворюють сферу) і відкритою (не включати їх).

Також можливе інше визначення терміна «куля» — це множина всіх точок простору, що перебувають від заданої точки $O$ на відстані, не більшій за дану відстань $R$. При цьому точка $O$ називається центром, а $R$ — радіусом кулі. Будь-який відрізок, який сполучає центр кулі з точкою кульової поверхні, також називається радіусом.

Поверхня кулі називається сферою. Також дуже часто кулею називають частину простору, обмежену сферою.

Куля в аналітичній геометрії

$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}\leqslant R^{2}$ — рівняння кулі з центром в точці з координатами $(a,b,c)$ та радіусом $R$.

Взагалі, рівняння кулі в n-вимірному просторі виглядає як

$(x_{1}-a_{1})^{2}+(x_{2}-a_{2})^{2}+\ldots +(x_{n}-a_{n})^{2}\leqslant R^{2}$, де $(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})$ — координати її центра.

Куля в 2-вимірному просторі — круг, а в n-вимірному, якщо $n\geqslant 4$, вона називається гіперкулею.

Площа сфери та об'єм кулі

Площу сфери, яка обмежує кулю з радіусом $R$, можна підрахувати за формулою

$S=4\pi R^{2}\,\!$, що приблизно дорівнює $12,6R^{2}\,\!$.

Площа поверхні кулі є найменшою серед площ поверхонь стереометричних тіл з однаковим об'ємом.
Об'єм кулі можна знайти за формулою

$V={\frac {4\pi R^{3}}{3}}\approx 4,2R^{3}\,\!$.

Переріз кулі площиною

Будь-який переріз кулі площиною є круг. Центр цього круга є основою перпендикуляра, опущеного з центра кулі на січну площину. Радіус такого перерізу визначається формулою

$r={\sqrt {R^{2}-l^{2}}}$, де $R$ — радіус кулі, $l$ — відстань від центра кулі до перерізу.

Площина, яка проходить через центр кулі, називається діаметральною площиною, переріз нею кулі — великим кругом, а переріз сфери — великим колом. Радіус великого круга та великого кола дорівнює радіусові кулі. Будь-яка діаметральна площина кулі є її площиною симетрії.

Частини кулі

Частини кулі: зеленим кольором позначено сектор, сірим — сегмент, жовтим — зріз кулі.

Сегмент

Сегмент кулі — це та її частина, що утворюється внаслідок перерізу площиною. Основними величинами, які характеризують сегмент, є радіус кулі $R$ та довжина перпендикуляра, опущеного на центр перерізу зі сфери, $H$. Довжина цього перпендикуляра також дорівнює різниці між радіусом $R$ і відстанню від центра до перерізу $l$, тобто $H=R-l$. Таким чином об'єм сегмента дорівнює

$V={\frac {1}{3}}\pi H^{2}(3R-H)$,

а площа поверхні —

$S=2\pi RH\,\!$

Зріз

Зріз (кульовий шар) — це стереометричне тіло, утворене перерізами кулі двома паралельними площинами. Він характеризується такими величинами:

• Радіус відповідної кулі, $R$;
• Відстань між двома перерізами, $H$;
• Радіуси обох перерізів, $r_{1},r_{2}$.

Об'єм зрізу визначається формулою

$V={\frac {1}{6}}\pi H^{3}+{\frac {1}{2}}\pi (r_{1}^{2}+r_{2}^{2})H$,

а площа поверхні —

$S=2\pi RH\,\!$.

Сектор

Сектор складається з кульового сегмента та конуса, основа якого збігається з основою сегмента, а вершина — з центром кулі. Сектор характеризують радіус кулі $R$ та довжина перпендикуляра, опущеного на центр основи конуса зі сфери, $H$. Об'єм сектора:

$V={\frac {2}{3}}\pi R^{2}H$.

Площа його поверхні:

$\pi R(2H+{\sqrt {2HR-H^{2}}})$.

Вписані й описані кулі

Описана куля

Куля називається описаною навколо багатогранника, якщо всі вершини багатогранника лежать на поверхні кулі (сфери). В цьому випадку багатогранник називають вписаним в кулю. Центр кулі, описаної навколо багатогранника, рівновіддалений від всіх його вершин, тобто є точкою перетину площин, проведених через середини ребер багатогранника (призми, піраміди) перпендикулярно до них. Відстань від центра кулі до вершин багатогранника — його радіус.

Вписана куля

Куля називається вписаною в багатогранник, якщо всі грані багатогранника дотикаються до кулі. Багатогранник у цьому випадку називається описаним навколо кулі (сфери). Центр кулі, вписаної у багатогранник, рівновіддалений від усіх його граней. Він є точкою перетину півплощин, проведених через ребра двогранних кутів, утворених двома суміжними гранями, які поділяють цей кут навпіл. Відстань від центра кулі до граней — його радіус.

Додаткові відомості

Куля так само, як циліндр і конус, є тілом обертання. Вона утворюється при обертанні півкруга навколо його діаметра як осі. Цей діаметр називають віссю кулі, а його кінці — полюсами кулі.
Відрізок, який сполучає дві точки кульової поверхні і проходить через центр кулі, називається діаметром. Кінці будь-якого діаметра називаються діаметрально протилежними точками кулі.

Див. також

• Сфера
• Круг і Коло
• Гіперкуля
• Тіла обертання
• Площа і Об'єм

Посилання

• Куля // Термінологічний словник-довідник з будівництва та архітектури / Р. А. Шмиг, В. М. Боярчук, І. М. Добрянський, В. М. Барабаш ; за заг. ред. Р. А. Шмига. — Львів, 2010. — С. 114. — ISBN 978-966-7407-83-4.