Конформне відображення

Конформне відображення: лінії, що перетинаються під кутом 90° переходять у криві, що перетинаються під кутом 90°.

Конформне відображення — неперервне відображення, що зберігає кути. Більш формально, неперервне відображення області G n-вимірного евклідового простору в n-вимірний евклідовий простір називається конформним в точці $z_{0}\in G$, якщо воно в цій точці має властивість збереження кутів, тобто будь-яка пара неперервних кривих $l_{1},l_{2}$, що розташовані в G і перетинаються в точці $z_{0}$ під кутом $\alpha$. (Мають дотичні в точці $z_{0}$, що утворюють між собою кут $\alpha$), при даному відображенні переходить в пару неперервних кривих $L_{1},L_{2},$ що перетинаються в точці $w_{0}=f(z_{0})$ під тим же кутом $\alpha .$ Неперервне відображення області G називається конформним, якщо воно є конформним в кожній точці цієї області.

Комплексний випадок

У найважливішому випадку n = 2 область G і її образ f(G) при відображенні f лежать у площині, яку зручно розглядати як площину комплексної змінної z; відповідно відображення w = f (z) є комплекснозначною функцією комплексної змінної При цьому якщо в точці $z_{0}$ відображення w = f (z) зберігає кути, то криволінійні кути з вершиною $z_{0}$ при цьому відображенні або всі зберігають свою абсолютну величину і знак, або всі зберігають свою абсолютну величину, змінюючи знак на протилежний.

Якщо відображення $w=f(z)$ є конформним в точці $z_{0},$ то існує скінченна границя відношення ${\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}},$ тобто існує похідна $f'(z_{0}).$ При додатковому припущенні $f'(z_{0})\neq 0,$ правильним є і оберенене твердження. Тобто відображення w = j (z) є конформним в області G скінченної комплексної площини $\mathbb {C}$ тоді і тільки тоді, коли функція $f(z),\,\,z\in G$ є аналітичною і в G $f'(z_{0})\neq 0.$

Таким чином, якщо існує $f'(z_{0})\neq 0$, то кожен нескінченно малий вектор з початком у точці $z_{0}$ при відображенні w = f (z) розтягується в $k(z_{0},f)=|f(z_{0})|$ раз, повертається на кут $argf'(z_{0})$ і паралельно зсувається на вектор $f(z_{0})-z_{0}$; нескінченно малі кола з центром $z_{0}$; переходять у нескінченно малі кола.

Якщо неперервні відображення w = f(z) є однолистим (тобто взаємно-однозначним) і коефіцієнт розтягнення в кожній точці буде однаковим в усіх напрямках, то або f(z), або ${\bar {f(z)}}$ є аналітичною функцією, похідна якої усюди в G відмінна від нуля.

Простори вищої розмірності

Конформні відображення областей n-вимірного евклідового простору при $n\geqslant 3$ утворюють досить вузький клас так званих мебіусових відображень, кожне з яких згідно з теоремою Ліувілля утворюється композицією відображення гомотетії, ізометрії і спеціального конформного відображення, що є композицією відбиття і інверсії щодо сфери.

Див. також

• Голоморфна функція
• Дифеоморфізм
• Теорема Рімана про відображення
• Конформна група

Література

• Иванов В.И., Попов В.Ю. Конформные отображения МГУ, УРСС, 2002 334 с.
• Ahlfors, Lars V. (1973), Conformal invariants: topics in geometric function theory, New York: McGraw-Hill Book Co