Теорема Рімана про відображення

Теорема Рімана про відображення — теорема у комплексному аналізі, що стверджує, що для довільної однозв'язної відкритої підмножини $U$ комплексної площини $\mathbb {C}$, що не збігається з усією $\mathbb {C}$, існує бієктивне голоморфне відображення $f\,$ із множини $U\,$ на відкритий одиничний круг $D\,$

$f:U\rightarrow D\,$

де

$D=\{z\in {\mathbb {C} }:|z|<1\}.$

Зауваження

Голоморфна функція, що є взаємно-однозначною (тобто оборотною), є конформним відображенням, так що теорему можна формулювати в термінах конформної еквівалентності. Також, не має значення, стверджувати про існування функції $f\colon D\to U$ або оберненої $f^{-1}\colon U\to D$. Можна навіть вимагати існування відображення з будь-якої однозв'язної області в будь-яку іншу однозв'язну — твердження теореми від цього не стане сильнішим.

Дана теорема здається парадоксальною, оскільки умови на область є чисто топологічними і ніяк не обумовлюють геометрію її межі. Насправді, порівняно легко будуються конформні відображення круга не тільки на многокутники і подібні фігури, але і області на зразок круга з одним вирізаним радіусом і т. д. Можна навіть побудувати функцію на кругу, образ якої має ніде не гладку межу. Втім, Ріман зумів довести теорему лише в припущенні кускової гладкості межі.

Єдиність відображення

Оскільки одиничний круг легко нетотожно конформно відобразити на себе, то шукане конформне відображення єдиним бути не може. Проте, легко бачити, що вся неоднозначність в побудові відображення відноситься до автоморфізмів одиничного круга, які утворюють дійсну 3-мірну групу Лі. Зокрема, якщо $z_{0}$ — елемент множини $U$ і φ — довільний кут, тоді існує єдине відображення $f$ із теореми Рімана, яке додатково задовольняє умовам $f$ відображає $z_{0}$ в $0$ і аргумент похідної $f$ в точці $z_{0}$ рівний куту φ.

Доведення

Доведемо, що в $D\,$ існує хоча б одна голоморфна і ін'єктивна функція, що по модулю є меншою 1. За умовою межа $\partial D\,$містить дві різні точки $\alpha ,\ \beta .$ Квадратний корінь ${\sqrt {\frac {z-\alpha }{z-\beta }}}$має аналітичне продовження вздовж будь-якого шляху в області $D\,$ і оскільки ця область є однозв'язною, то за теоремою про монодромію цей корінь допускає виділення в $D\,$ двох однозначних гілок $\varphi _{1}$ і $\varphi _{2},$що відрізняються знаком.

Кожна з цих гілок є ін'єктивною в $D\,$, бо з рівності $\varphi _{i}(z_{1})=\varphi _{i}(z_{2})$випливає рівність

${\frac {z_{1}-\alpha }{z_{1}-\beta }}={\frac {z_{2}-\alpha }{z_{2}-\beta }},$

а з неї, зважаючи на ін'єктивність дробово-лінійної функції, рівність $z_{1}=z_{2}$. Ці гілки відображають $D\,$відповідно на області ${\bar {D}}_{1}=\varphi _{1}(D)$ і ${\bar {D}}_{2}=\varphi _{2}(D)$, які не мають спільних точок, бо в іншому випадку знайшлися б точки $z_{1},z_{2}\in D$ такі, що $\varphi _{1}(z_{1})=\varphi _{2}(z_{2})$, але з останнього рівності знову випливає рівність $z_{1}=z_{2}$, а тому $\varphi _{1}(z_{1})=\varphi _{2}(z_{1})=-\varphi _{1}(z_{1}),\$що неможливо оскільки $\varphi _{1}(z)\neq 0$ для всіх $z\in D.$

Область ${\bar {D}}_{2}$ містить деякий круг $\{|w-w_{0}|<\rho \},$а тому $\varphi _{1}$ в $D\,$не набуває значень з цього кола. Тому функція

$g(z)={\frac {\rho }{\phi _{1}(z)-w_{0}}},$

очевидно є голоморфною і ін'єктивною і обмеженою в $D\,$:

$g(z)\leqslant 1,\,\forall z\in D.$

Позначимо як $S\,$ сім'ю всіх голоморфних і ін'єктивних в $D\,$ функцій, по модулю всюди менших 1. Ця

сім'я є непустою, бо містить функцію $g(z)$ і по теоремі Монтеля вона є нормальною. Оскільки $g(z)$ є ін'єктивною в $D\,$, то у довільній точці $|g'(z)|>0.$ Підсім'я $S_{1}$ сім'ї $S\,$, до якої належать усі функції з $S\,$для яких

$|f'(a)|\geqslant |g'(a)|>0$

в деякій фіксованій точці $a\in D$ є нормальною. Також якщо послідовність функцій $f_{n}\in S_{1}$ збігається рівномірно на компактних підмножинах $D\,$то границя цієї послідовності належить $S_{1}$.

Дійсно з наслідку теореми Гурвіца границя послідовності функцій $f_{n}\in S_{1}$, що сходиться рівномірно на будь-якій компактній підмножині $K\subset D$, може бути лише ін'єктивною функцією або константою але останній випадок виключений нерівністю $|f'(a)|>0$. Також якщо $|f'_{n}(a)|\geqslant |g'(a)|$ для елементів цієї послідовності, то і для граничної функції $|f'(a)|\geqslant |g'(a)|.$ Отож також і $f\in S_{1}.$

Розглянемо на $S_{1}$ функціонал $J(f)=|f'(a)|.$ Він є неперервним адже для рівномірно збіжної на компактах послідовності $f_{n}\in S_{1}$ із границею $f\in S_{1}$, послідовність похідних $f'_{n}$ теж рівномірно на компактах збігається до $f',$ зокрема $f'_{n}(a)=f'(a).$

Оскільки $S_{1}$є компактною (у просторі голоморфних функцій із компактно-відкритою топологією) множиною то існує функція $f_{0}\in S_{1}$на якій цей функціонал досягає максимуму, тобто така, що для всіх $f\in S_{1}$ виконується нерівність $f'(a)\leqslant f_{0}'(a).$

Оскільки функція $f_{0}\in S_{1},$ то вона конформно відображає $D\,$ в одиничний круг $U$. Також $f_{0}(a)=0\$ оскільки в іншому випадку в $S_{1}\$ була б функція

$h(z)={\frac {f_{0}(z)-f_{0}(a)}{1-{\overline {f_{0}(a)}}f_{0}(z)}},$

для котрої

$|h'(a)|={\frac {1}{1-|f_{0}'(a)|^{2}}}|f_{0}'(a)|>|f_{0}'(a)|,$

що суперечить означенню функції $f_{0}$.

Функція $f_{0}$ відображає $D\,$ на весь круг $U$. Справді, нехай $f_{0}$не приймає в $D\,$деякого значення $b\in U$. Оскільки $f_{0}(a)=0$, то $b\neq 0$. Але і значення $b_{1}=1/{\bar {b}}$ не приймається цією функцією в $D\,$ (оскільки $|b_{1}|>1$), і, отже, по теоремі про монодромію в $D\,$можна виділити однозначну гілку кореня

$\psi (z)={\sqrt {\frac {f_{0}(z)-b}{1-{\bar {b}}f_{0}(z)}}}$

яка належить $S\,$. Але тоді $S\,$ належить і функція

$k(z)={\frac {\psi (z)-\psi (a)}{1-{\overline {\psi (a)}}\psi (z)}},$

для котрої

$|k'(a)|={\frac {1+|b|}{2{\sqrt {|b|}}}}|f_{0}'(a)|.$

Але $1+|b|>2{\sqrt {b}}$ бо $|b|<1$, тобто $k\in S_{1}$ і $|k'(a)|>|f_{0}'(a)|,$що суперечить означенню функції $f_{0}$.

Узагальнення

Якщо замість області на комплексній площині розглядати область на довільній ріманової поверхні, то ми приходимо до часткового випадку теореми про уніформізацію:

для довільної однозв'язної відкритої підмножини $U$ ріманової поверхні існує бієктивне голоморфне відображення ($f\,$ із множини $U\,$ на одну з множин:

• ріманову сферу;
• комплексну площину;
• одиничний круг.

Спроби узагальнити дану теорему на дійсну конформну геометрію в розмірностях вище 2, як і на комплексну геометрію в розмірностях вище 1, використовуючи поняття голоморфного відображення, до особливих успіхів не привели. Доведено, що і в тому і іншому випадку для еквівалентності областей вже недостатньо чисто топологічних умов. У будь-якому випадку, такі загальні твердження про еквівалентність областей в багатовимірних просторах науці не відомі.

Див. також

• Список об'єктів, названих на честь Бернгарда Рімана
• Теорема Гурвіца
• Теорема Монтеля

Література

• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.
• John B. Conway, Functions of one complex variable, Springer-Verlag, 1978, ISBN 0-387-90328-3
• John B. Conway, Functions of one complex variable II, Springer-Verlag, 1995, ISBN 0-387-94460-5
• Reinhold Remmert, Classical topics in complex function theory, Springer-Verlag, 1998, ISBN 0-387-98221-3

Посилання

• Доведення теореми Рімана [Архівовано 20 червня 2010 у Wayback Machine.], на сайті PlanetMath