Грассманіан

Грассманіаном $Gr(k,V)$ в математиці називають множину лінійних підпросторів розмірності k лінійного простору V. Як правило цій множині надається деяка додаткова структура. Зокрема для випадку лінійних просторів над полями дійсних чи комплексних чисел можна ввести природну структуру гладкого многовиду. В цьому випадку також використовується термін многовид Грассмана. Мають широке застосування в лінійній алгебрі, диференціальній і алгебраїчній геометрії, а також в інформатиці, зокрема комп'ютерному баченні. Названі на честь німецького математика Германа Грассмана.

Визначення

Нехай $V$ є лінійним простором розмірності n над полем $\mathbb {K}$. Грассманіаном $Gr(k,V)$ називається множина всіх лінійних підпросторів простору V розмірності k.

Пов'язаним є поняття множини $St(k,V)$ елементами якої є всі можливі набори k лінійно незалежних векторів. Кожен такий набір однозначно визначає лінійний підпростір розмірності k, тобто елемент грассманіана. Але навпаки кожному підпростору розмірності k відповідають різні елементи $St(k,V).$

Ввівши деякий базис $e_{1},\ldots ,e_{n}$ лінійного простору V, кожен вектор однозначно визначається своїми координатами в цьому базисі. Тоді k лінійно незалежних векторів можна ідентифікувати зі стовпцями деякої матриці розмірності n×k, ранг якої рівний k: $\{A\in M(n,k,K),\,\operatorname {rank} A=k\}.$

У випадку лінійних просторів над полями дійсних чи комплексних чисел $St(k,V)$ є гладким многовидом, що називається многовидом Штіфеля.

Топологія на грассманіані

Нехай тепер V — лінійний простір над полем дійсних чисел. Топологію на грассманіані найпростіше визначити через топологію на $St(k,V)$ через його ідентифікацію з підмножиною множини $M(n,k,\mathbb {R} ).$ Спершу на $M(n,k,\mathbb {R} )$ існує природна топологія породжена якоюсь із норм матриць (наприклад нормою Фробеніуса).

Множина $\{A\in M(n,k,\mathbb {R} ),\,\operatorname {rank} A=k\}$ є відкритою в цій топології адже є прообразом відкритої множини $\mathbb {R} \setminus \{0\}$ щодо неперервного відображення $f(A)=\det(A^{T}A).$ На $St(k,V)$ вводиться індукована топологія з топології на $M(n,k,\mathbb {R} ).$

Якщо тепер $A\in St(k,V)$ — деякий набір k лінійно незалежних векторів то їх лінійна оболонка $L(A)$ очевидно є елементом $Gr(k,V).$ Тому можна визначити відображення $\phi :St(k,V)\to Gr(k,V)$ визначене рівністю $\phi (A)=L(A).$ Грассмановою топологією називається максимальна топологія для якої це відображення є неперервним. Тобто підмножина $G\subset Gr(k,V)$ є відкритою у цій топології тоді й лише тоді коли $\phi ^{-1}(G)$ є відкритою в $St(k,V)$.

Властивості топології

• Введена таким чином топологія є Гаусдорфовою.
• Грассманіан із цією топологією є компактним простором.
• Нехай Q — лінійний підпростір простору V розмірності n - k. Визначимо множину $G=\{P\in Gr(k,V):P\cap Q=\{0\}\}.$ Дана множина G є відкритою.

Нехай $P\in G$ і $A\in \phi ^{-1}(P).$ Як і раніше ідентифікуємо A з елементом з $M(n,k,\mathbb {R} )$ де стовпці матриці є координатами векторів у деякому базисі $e_{1},\ldots ,e_{n}.$ Нехай $A'\in M(n,n-k,\mathbb {R} )$ — матриця стовпцями якої є координати деяких базисних векторів підпростору Q відносно $e_{1},\ldots ,e_{n}.$ Очевидно що $P\cap Q=\{0\}$ тоді й лише тоді коли визначник блокової матриці ${\begin{bmatrix}A&A^{'}\end{bmatrix}}$ не дорівнює нулю. Але зважаючи, що визначник є многочленом від елементів матриці, звідси відразу стає зрозуміло, що при малій зміні елементів у перших k стовпцях він знову не буде рівним нулю. І відповідно підпростір породжений цими зміненими стовпцями матиме нульовий перетин з Q. Тобто якщо $A\in \phi ^{-1}(G)$ то й деякий окіл A є підмножиною $\phi ^{-1}(G).$ Звідси випливає, що множина $\phi ^{-1}(G)$ є відкритою і згідно визначення грассманової топології G теж є відкритою.

Структура гладкого многовиду

Як фактор-многовид многовиду Штіфеля

Оскільки $St(k,V)$ можна визначити як відкриту підмножину $\mathbb {R} ^{nk}$ на цій множині природно вводиться структура гладкого многовида. Для $A\in St(k,V)$ маємо $\phi ^{-1}(\phi (A))=\{AB,B\in GL(k,\mathbb {R} )\},$ де $GL(k,\mathbb {R} )$ — загальна лінійна група. Таким чином $Gr(k,V)\simeq St(k,V)/GL(k,\mathbb {R} )$ і оскільки $GL(k,\mathbb {R} )$ є групою Лі дія якої на $St(k,V)$ є гладкою, вільною і власною (прообраз компактної множини є компактним), то на $Gr(k,V)$ можна ввести структуру фактор-многовиду.

Явний опис карт

Проте гладку структуру можна ввести і в більш наглядний спосіб. Нехай $P\in Gr(k,V)$ і Q лінійний підпростір у V розмірності n - k, такий що $V=P\oplus Q.$ Введемо базис $e_{1},\ldots ,e_{n}$ лінійного простору V де перші k векторів є базисом простору P, а наступні n - k векторів є базисом простору Q.

Нехай $G_{P}=\{P^{'}\in Gr(k,V):P^{'}\cap Q=\{0\}\}.$ Як вказано вище $G_{P}$ є відкритою множиною і очевидно $P\in G_{P}.$ Тобто $G_{P}$ є околом P.

Якщо $P^{'}\in G_{P}$ то $\forall x\in P^{'}\exists !p\in P,q\in Q:x=p+q,$ при чому p = 0 тоді й лише тоді, коли x = 0. Тому можна розглянути два лінійні відображення $\operatorname {Pr} _{P}:P^{'}\to P$ і $\operatorname {Pr} _{Q}:P^{'}\to Q,$ для яких в попередніх позначеннях $\operatorname {Pr} _{P}(x)=p,\,\operatorname {Pr} _{Q}(x)=q.$

Лінійне відображення $\operatorname {Pr} _{P}$ діє між двома просторами розмірності k і воно є ін'єктивним ($\operatorname {Pr} _{P}(x)=0\implies x\in Q\implies x=0$ з визначення $P^{'}$). Звідси випливає, що воно є лінійним ізоморфізмом і існує обернене відображення. Тому можна визначити лінійне відображення $D\in \displaystyle {\mathcal {L}}(P,Q):=\operatorname {Pr} _{Q}\circ \operatorname {Pr} _{P}^{-1}$. Для введених раніше базисних векторів йому відповідає деяка матриця $D\in M(n-k,k,\mathbb {R} ).$ Відображення $I+D$ задає ізоморфізм між P і P^', зокрема стовпці, блокової матриці ${\begin{bmatrix}I_{k}\\D\end{bmatrix}}$ задають координати базисних векторів простору P^' щодо векторів $e_{1},\ldots ,e_{n}.$ Якщо тепер $D_{1},D_{2}\in M(n-k,k,\mathbb {R} )$ — дві різні матриці то підпростори визначені ${\begin{bmatrix}I_{k}\\D_{1}\end{bmatrix}}$ і ${\begin{bmatrix}I_{k}\\D_{2}\end{bmatrix}}$ очевидно належать $G_{P}$ і є різними. Таким чином визначається бієктивне відображення $\psi _{P}$ між $G_{P}$ і $M(n-k,k,\mathbb {R} ).$ Не важко помітити, що воно є гомеоморфним.

Множина $(G_{P},\psi _{P}),\,P\in Gr(k,V)$ є покриттям простору $Gr(k,V)$ локальними картами тобто грассманіан є локально евклідовим простором розмірності k·(n-k).

Для перевірки властивостей гладкого многовида потрібно лише перевірити властивості перехідних відображень.

Нехай $P_{1},P_{2}\in Gr(k,V),\,G_{P_{1}},G_{P_{2}},\psi _{P_{1}},\psi _{P_{2}}$ — визначені як і раніше. Також визначимо $Q_{1},Q_{2}:V=P_{1}\oplus Q_{1}=P_{2}\oplus Q_{2}$ і базисні вектори $e_{1},\ldots ,e_{n}$ лінійного простору V де перші k векторів є базисом простору P₁, а наступні n - k векторів є базисом простору Q₁ і базисні вектори $f_{1},\ldots ,f_{n}$ лінійного простору V де перші k векторів є базисом простору P₂, а наступні n - k векторів є базисом простору Q₂

Візьмемо тепер $P_{3}\in G_{P_{1}}\cap G_{P_{2}}$ тобто $P_{3}\cap Q_{1}=P_{3}\cap Q_{2}=\{0\}.$ Маємо $\psi _{1}(P_{3})=A_{1}\in M(n-k,k,\mathbb {R} ),\,\psi _{2}(P_{3})=A_{2}\in M(n-k,k,\mathbb {R} ).$Відповідно стовпці блокової матриці $A^{'}={\begin{bmatrix}I_{k}\\A_{1}\end{bmatrix}}$ задають координати базисних векторів простору $P_{3}$ щодо $e_{1},\ldots ,e_{n}.$ Якщо $B$ — матриця переходу від базиса $f_{1},\ldots ,f_{n}$ до базиса $e_{1},\ldots ,e_{n}$ простору V, то стовпці матриці $B^{'}=BA^{'}$ є координатами тих самих базисних векторів простору $P_{3}$ щодо $f_{1},\ldots ,f_{n}.$ Перепишемо останню матрицю у блочному виді: $B^{'}={\begin{bmatrix}F\\H\end{bmatrix}}$ де $F\in M(k,k,\mathbb {R} ),\,H\in M(n-k,k,\mathbb {R} ).$ Стовпці матриці $B^{'}$ є лінійно незалежними. Також лінійно незалежними є стовпці матриці F. Справді довільна лінійна комбінація, яка переводить стовпці матриці F в нуль і не всі коефіцієнти якої рівні нулю, переводить вектори визначені стовпцями $B^{'}$ в ненульовий елемент $Q_{2}$, що неможливо згідно з означеннями.

З аналогічних до попередніх міркувань маємо ${\begin{bmatrix}F\\H\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}I_{k}\\A_{2}\end{bmatrix}}X,$ — де X, деяка матриця стовпці якої визначають координати лінійно незалежних векторів у підпросторі $P_{2}$ у базисі $f_{1},\ldots ,f_{k}.$ З поданої рівності очевидно, що $X=F$ і, як наслідок $A_{2}=HF^{-1}.$

Тепер можна перевірити тип залежності елементів матриці $A_{2}$ від елементів матриці $A_{1}.$ З рівності $B^{'}=BA^{'}$ випливає, що коефіцієнти матриць $B^{'},F,H$ є афінними функціями від елементів матриці $A_{1}.$ З формули для оберненої матриці і попереднього випливає, що елементи матриці $F^{-1}$ є раціональними функціями від елементів $A_{1}$ знаменники яких ніколи в $G_{P_{1}}\cap G_{P_{2}}$ не рівні нулю. Ця ж залежність справедлива і для елементів матриці $A_{2}=HF^{-1}.$ Відповідно всі елементи матриці $A_{2}$ є гладкими функціями від елементів матриці $A_{1},$ тобто всі функції переходу $\psi _{P_{1}P_{2}}=\psi _{P_{2}}\circ \psi _{P_{1}}$ є гладкими.

Див. також

• Лінійний простір

Джерела

• Бурбакі Н. Загальна топологія: Топологічні групи. Числа і пов'язані з ними групи і простори. — М. : Наука, 1969. — С. 392. — (Елементи математики)(рос.)
• Daniel Karrasch. An Introduction to Grassmann Manifolds and their Matrix Representation^{[недоступне посилання з листопадаа 2019]} (англ.)
• Dorde Baralic How to understand Grassmannians? [Архівовано 9 травня 2016 у Wayback Machine.] (англ.)