Гіпотеза Борсука

Розрізання відрізка, трикутника та тетраедра на частини меншого діаметра

Гіпотеза Борсука (задача Борсука) — спростована гіпотеза в комбінаторній геометрії:

Чи можливо довільне тіло скінченного одиничного діаметра в $n$-вимірному евклідовому просторі розбити на не більш ніж $n+1$ частину так, що діаметр кожної частини буде меншим за 1?

Висунув Кароль Борсук 1933 року. Відіграла значну роль у розвитку комбінаторної геометрії XX століття: протягом тривалого періоду гіпотезу підтверджено для низки окремих випадків^[⇨] та основні зусилля були спрямовані на пошук доведень у загальному випадку, оскільки вагомих сумнівів у її справедливості не виникало. Однак 1993 року знайдено контрприклад^[⇨].

Станом на 2023 доведено, що гіпотеза істинна при $n\leqslant 3$, і хибна для $n\geqslant 64$, статус твердження для $4\leqslant n<64$ залишається нез'ясованим.

Розрізання правильного шестикутника ширини 1 на 3 частини діаметром менше ніж 1.

Сприятливі розв'язки

Випадок $n=1$ очевидний. Випадок $n=2$ довів 1933 року сам Борсук, скориставшись результатом Дюли Пала 1929 року, згідно з яким будь-яку фігуру діаметра 1 можна помістити в правильний шестикутник ширини 1, а такий шестикутник у свою чергу допускає розрізання на три п'ятикутники діаметра ${\tfrac {\sqrt {3}}{2}}<1$ . Крім того, Борсук довів, що $n$-вимірну кулю не можна розділити на $n$ частин меншого діаметра, тим самим затвердивши нижню оцінку кількості частин (доведення ґрунтується на теоремі Борсука — Уляма).

1946 року Гадвігер довів справедливість гіпотези при всіх $n$ для опуклих тіл із гладкою межею.

1947 року Юліан Перкаль довів випадок $n=3$ для всіх обмежених тіл, незалежно від нього 1955 року цей самий результат отримав британський математик Егглстон; просте доведення, подібний до Борсукового, знайшли пізніше Бранко Ґрюнбаумом і Альдар Геппеш; вони довели, що будь-яке тіло діаметра 1 можна помістити у певний октаедр з відсіченими трьома вершинами, який у свою чергу допускає розбиття на 4 частини діаметра менше 0,9888.

Щонайменше від початку 1970-их років гіпотезу підтверджено для центрально-симетричних тіл. 1971 року Клод Роджерс довів гіпотезу для будь-якої множини, інваріантної відносно дії групи перетворень, які залишають на місці правильний $n$-вимірний симплекс.

1993 року Борис Декстер установив справедливість гіпотези для опуклих тіл з поясом із регулярних точок, 1995 року він позитивно розв'язав задачу для всіх тіл обертання в довільних розмірностях.

Число Борсука

Число Борсука $f(n)$ — найменша кількість можливих частин меншого діаметра, на які можна розбити будь-яке обмежене тіло в $n$-вимірному просторі. Паралельно з підтвердженням гіпотези $f(n)=n+1$ в окремих випадках, покращувалися нижні та верхні оцінки для $f(n)$. Порівняно легко отримані оцінки $f(n)\leqslant (2{\sqrt {n}}+1)^{n}$ і $f(n)\leqslant 2^{n}$. 1983 року Маршалл Лассак з'ясував, що $f(n)\leqslant 2^{n-1}+1$.

Серед асимптотичних верхніх оцінок довгий час найкращою була оцінка Клода Роджерса (1965): $f(n)\leqslant {\big (}{\sqrt {2}}+o(1){\big )}^{n}$; 1988 року Одед Шрамм показав, що:

$f(n)\leqslant {\Big (}{\sqrt {\tfrac {3}{2}}}+o(1){\Big )}^{n}$.

Заперечні розв'язки

Заперечний розв'язок задачі в загальному випадку виявили 1993 року Гіль Калаї і Джефф Кан, які побудували контрприклад у розмірності $n=1325$ та довели невиконання гіпотези для всіх $n>2014$. Крім того, вони показали, що для досить великих $n$, існують $n$-вимірні тіла, які не можна розбити на ${\big (}1{,}203+o(1){\big )}^{\sqrt {n}}$ частин меншого діаметра. В наступні роки розмірність, вище від якої гіпотеза не виконується, послідовно знижувалася:

• 1993 — $n\geqslant 2015$ (Калаї — Кан),
• 1994 — $n\geqslant 946$ (Ніллі),
• 1997 — $n\geqslant 903$ (Вайсбах — Грей),
• 1997 — $n\geqslant 561$ (Райгородський),
• 2000 — $n\geqslant 560$ (Вайсбах),
• 2001 — $n\geqslant 324$ (Гінрігз),
• 2002 — $n\geqslant 323$ (Піхурко),
• 2003 — $n\geqslant 298$ (Гінрігз — Ріхтер),
• 2013 — $n\geqslant 65$ (Бондаренко),
• 2013 — $n\geqslant 64$ (Єнріх).

Для побудови контприкладів у всіх випадках використано скінченні множини та тонкі комбінаторні результати. Нижні оцінки для найменшого числа частин меншого діаметра в більшості контрприкладів — ${\big (}1{,}203+o(1){\big )}^{\sqrt {n}}$, у одному з результатів Райгородського (1999) цю оцінку покращено до ${\big (}1{,}2255+o(1){\big )}^{\sqrt {n}}$.

Варіації та узагальнення

1953 року Девід Ґейл висунув гіпотезу, що будь-яке тіло одиничного діаметра в тривимірному просторі допускає розбиття на 4 частини з діаметром:

${\sqrt {\frac {3+{\sqrt {3}}}{6}}}\approx 0{,}888$,

тобто, куля є «найгіршим» у цьому сенсі тілом.

1971 року гіпотезу Борсука підтверджено для сферичного та гіперболічного просторів при $n=2,3$.

1991 року цей результат узагальнено на довільні розмірності для центрально-симетричних опуклих гіперповерхонь.

2012 року вивчено аналоги проблеми Борсука у просторі $\mathbb {Q} ^{n}$ з евклідовою метрикою та з метрикою $l_{p}$.

2019 року розглянуто питання про розбиття довільних обмежених метричних просторів на задану кількість підмножин меншого діаметра, та виявлено критерії здійсненності та нездійсненності такого розбиття залежно від відстані за метрикою Громова — Гаусдорфа від заданого простору до симплексів заданої потужності, де під симплексом розуміють метричний простір, у якому всі ненульові відстані однакові.

Література

• В. Г. Болтянский, И. Ц. Гохберг. Теоремы и задачи комбинаторной геометрии. — М. : Наука, 1965. — 108 с. — (Математическая библиотечка) (містить доведення гіпотези в розмірностях 2 і 3)
• В. Г. Болтянский, И. Ц. Гохберг. Разбиение фигур на меньшие части/ серия = Популярные лекции по математике, выпуск 50. — М. : Наука, 1971. — 88 с.
• Б. Грюнбаум. Этюды по комбинаторной геометрии и теории выпуклых тел. — М. : Наука, 1971.
• А. М. Райгородский. Проблема Борсука. — М. : МЦНМО, 2006. — 56 с.
• А. Б. Скопенков. $n$-мерный куб, многочлены и решение проблемы Борсука // Математическое просвещение. — М. : МЦНМО, 1999. — Вип. 3 (3) (7 листопада).