Проблеми Гільберта

Проблеми Гільберта — список з 23 кардинальних проблем математики, представлений Давидом Гільбертом на II Міжнародному Конгресі математиків у Парижі в 1900 році. Повний список з 23 проблем був опублікований пізніше в 1902 році в англійському перекладі Мері Френсіс Вінстон Ньюсон у Бюлетені Американського математичного товариства (Bulletin of the American Mathematical Society)^[1] Тоді ці проблеми (які охоплювали основи математики, алгебру, теорію чисел, геометрію, топологію, алгебраїчну геометрію, групи Лі, дійсний і комплексний аналіз, диференціальні рівняння, математичну фізику і теорію імовірностей, а також варіаційне числення) не були розв'язані. В наші часи розв'язані 16 проблем з 23. Ще 2 не є коректними математичними проблемами (одна сформульована занадто розпливчасто, щоб зрозуміти, розв'язана вона чи ні, інша, далека від розв'язання, — фізична, а не математична). З 5 проблем, що залишилися, дві не розв'язані ніяк, а три розв'язані тільки для часткових випадків.

Список проблем

1	розв'язана^[2]	Проблема Кантора про потужність континууму (Континуум-гіпотеза)
2	нема консенсусу^[3]	Несуперечливість аксіом арифметики.
3	розв'язана	Третя проблема Гільберта — рівноскладеність рівновеликих многогранників
4	занадто розпливчаста^[4]	Перерахувати метрики, у яких прямі є геодезичними
5	розв'язана	Чи всі неперервні групи є групами Лі?
6	не математична	Математичний виклад аксіом фізики
7	розв'язана	Довести, що число $2^{\sqrt {2}}$ є трансцендентним (або хоча би ірраціональним).^[5]
8	відкрита^[6]	Проблема простих чисел (гіпотеза Рімана і проблема Гольдбаха)
9	частково розв'язана^[7]	Доведення найзагальнішого закону взаємності в будь-якому числовому полі
10	розв'язана^[8]	Задача про можливість розв'язання діофантових рівнянь
11	розв'язана	Вивчення квадратичних форм із довільними алгебраїчними числовими коефіцієнтами
12	відкрита	Поширення теореми Кронекера про абелеві поля на довільну алгебраїчну область раціональності
13	розв'язана	Неможливість розв'язання загального рівняння сьомого степеня за допомогою функцій, що залежать тільки від двох змінних
14	розв'язана	Доведення скінченнопородженості алгебри інваріантів алгебраїчної групи^[9]
15	частково розв'язана	Строге обґрунтування обчислювальної геометрії Шуберта
16	частково розв'язана^[10]	Топологія алгебраїчних кривих і поверхонь^[11]
17	розв'язана	Представлення визначених форм у вигляді суми квадратів
18	розв'язана^[12]^[13]	Скінченність кількості кристалографічних груп; нерегулярні заповнення простору конгруентними багатогранниками; найщільніше пакування куль
19	розв'язана	Чи завжди розв'язки регулярної варіаційної задачі Лагранжа є аналітичними?
20	розв'язана	Загальна задача про граничні умови (?)
21	розв'язана	Доведення існування лінійних диференціальних рівнянь із заданою групою монодромії
22	розв'язана	Уніформізація аналітичних залежностей за допомогою автоморфних функцій
23	не розв'язана	Розвиток методів варіаційного числення

Примітки

↑ David Hilbert, Mathematical Problems. Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 8, no. 10 (1902), pp. 437–479. Earlier publications (in the original German) appeared in Göttinger Nachrichten, 1900, pp. 253–297, and Archiv der Mathematik und Physik, 3rd series, vol. 1 (1901), pp. 44–63, 213–237.
↑ Результати Геделя і Коена (Cohen) показують, що ні континуум-гіпотеза, ні її заперечення не суперечить системі аксіом Цермело-Френкеля (стандартній системі аксіом теорії множин). Таким чином, континуум-гіпотезу в цій системі аксіом неможливо ні довести, ні спростувати. Ведуться суперечки про те, чи є результат Коена повним розв'язком задачі
↑ Курт Гедель довів, що несуперечність аксіом арифметики не можна довести, виходячи із самих аксіом арифметики
↑ Згідно з Ровом (Rowe) і Греєм (Gray) (див. далі), більшість проблем були розв'язані. Деякі з них не були досить точно сформульовані, однак досягнуті результати дозволяють розглядати їхній як «розв'язані». Ров і Грей говорять про четверту проблему як про таку, яка занадто нечітко поставлена, щоб судити про те, розв'язана вона, чи ні.
↑ Розв'язана Зігелем і Гельфондом (і незалежно Шнайдером) у загальнішому вигляді: якщо а ≠ 0, 1 — алгебраїчне число, і b — алгебраїчне, але ірраціональне, то a^b — трансцендентне число
↑ Проблема № 8 містить дві відомі проблеми, обидві з яких залишаються нерозв'язаними. Перша з них, Гіпотеза Рімана, є однією із семи проблем тисячоліття, що були позначені як «Проблеми Гільберта» 21-го століття
↑ Проблема № 9 була розв'язана для абелевого випадку; неабелів випадок залишається нерозв'язаним
↑ Юрій Матіясевич у 1970 році довів алгоритмічну нерозв'язність задачі про побудову універсального алгоритму, що визначає, чи є довільне діофантове рівняння розв'язним
↑ Твердження про скінченнопородженість алгебри інваріантів доведено для редуктивних груп. Нагата в 1958 році побудував приклад уніпотентної групи, у якої алгебра інваріантів не є скінченнопородженою. В. Л. Попов довів, що якщо алгебра інваріантів будь-якої дії алгебраїчної групи G на афінному алгебраїчному многовиді скінченнопороджена, то група G редуктивна.
↑ Перша (алгебраїчна) частина проблеми № 16 більш точно формулюється так. Харнаком доведено, що максимальне число овалів дорівнює M=(n-1)(n-2)/2+1, і що такі криві існують — їх називають M-кривими. Як можуть бути розташовані овали M-кривої? Ця задача зроблена до степеня n=6 включно, а для ступеня n=8 досить багато відомо (хоча її ще не добили). Крім того, є загальні твердження, що обмежують те, як овали M-кривих можуть бути розташовані — див. роботи Гудкова, Арнольда, Роона, самого Гільберта (втім, варто враховувати, що в доведенні Гільберта для n=6 є помилка: один з випадків, який він вважав неможливим, виявився можливим і був побудований Гудковим). Друга (диференціальна) частина залишається відкритою навіть для квадратичних векторних полів — невідомо навіть, скільки їх може бути, і що оцінка зверху існує. Навіть індивідуальна теорема скінченності (те, що в кожного поліноміального векторного поля є скінченне число граничних циклів) була доведена зовсім недавно. Вона вважалася доведеною Дюлаком, але в його доведенні була виявлена помилка, і остаточно ця теорема була доведена Ілляшенко і Екалем — для чого кожному з них довелося написати по книзі
↑ Наведений переклад початкової назви проблеми, даний Гільбертом: «16. Problem der Topologie algebraischer Curven und Flachen» [Архівовано 2012-02-05 у Wayback Machine.](нім.). Однак, більш точно її зміст (як це розглядається сьогодні) можна було б передати наступною назвою: «Число і розташування овалів дійсної алгебраїчної кривої даного степеня на площині; число і розташування граничних циклів поліноміального векторного поля даного степеня на площині». Ймовірно (як можна побачити з англійського перекладу тексту анонсу(англ.)), Гільберт вважав, що диференціальна частина (яка в реальності виявилася значно складнішою за алгебраїчною) буде піддаватися розв'язанню тими ж методами, що й алгебраїчна, і тому не включив її в назву.
↑ Bieberbach L. Uber die Bewegungsgruppen der Euklidischen Raume I.—Math. Ann., 1911, 70, S. 297—336; 1912, 72, S. 400—412.
↑ Рів і Грій також називають проблему № 18 «відкритою» у своїй книзі за 2000 рік, тому що задача упакування куль (відома також як гіпотеза Кеплера) не була розв'язана на той час, однак на сьогоднішній день є відомості про те, що вона уже розв'язана (див. далі). Просування в розв'язанні проблеми № 16 були зроблені в недавній час, а також в 1990-х.

24-а проблема

Спочатку список містив 24 проблеми, але в процесі підготовки до доповіді Гільберт відмовився від однієї з них. Ця 24-а проблема була пов'язана з теорією доведень критерію простоти і загальних методів. Дана проблема була виявлена завдяки Rudiger Thiele.^[1].

Див. також

Література

Оригінальний текст на німецькій доповіді Гільберта
Російський переклад доповіді Гільберта (вступна частина і висновок)
Проблеми Гільберта, Збірник за редакцією П. С. Александрова, М., Наука, 1969 р., 240 с.
А. А. Болибрух, «Проблеми Гільберта (100 років потому)»
До конференції 2000 року «Математика і її додатки» бібліотека МДТУ ім. Н. Е. Баумана підготувала виставку «Проблеми Гільберта», також список праць Д. Гільберта
Ляшко С.І., Номіровский Д.А., Петунін Ю.І., Семенов В.В. Двадцята проблема Гільберта. Узагальнені рішення операторних рівнянь. — М. : Діалектика, 2009. — С. 192. — ISBN 978-5-8459-1524-5.

Примітки

↑ Thiele, Rüdiger (January 2003). Hilbert’s twenty-fourth problem (PDF). American Mathematical Monthly. Архів оригіналу (PDF) за 3 березня 2016. Процитовано 9 квітня 2018. (англ.)

Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її.

[1] David Hilbert, Mathematical Problems. Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 8, no. 10 (1902), pp. 437–479. Earlier publications (in the original German) appeared in Göttinger Nachrichten, 1900, pp. 253–297, and Archiv der Mathematik und Physik, 3rd series, vol. 1 (1901), pp. 44–63, 213–237.

[2] Результати Геделя і Коена (Cohen) показують, що ні континуум-гіпотеза, ні її заперечення не суперечить системі аксіом Цермело-Френкеля (стандартній системі аксіом теорії множин). Таким чином, континуум-гіпотезу в цій системі аксіом неможливо ні довести, ні спростувати. Ведуться суперечки про те, чи є результат Коена повним розв'язком задачі

[3] Курт Гедель довів, що несуперечність аксіом арифметики не можна довести, виходячи із самих аксіом арифметики

[4] Згідно з Ровом (Rowe) і Греєм (Gray) (див. далі), більшість проблем були розв'язані. Деякі з них не були досить точно сформульовані, однак досягнуті результати дозволяють розглядати їхній як «розв'язані». Ров і Грей говорять про четверту проблему як про таку, яка занадто нечітко поставлена, щоб судити про те, розв'язана вона, чи ні.

[5] Розв'язана Зігелем і Гельфондом (і незалежно Шнайдером) у загальнішому вигляді: якщо а ≠ 0, 1 — алгебраїчне число, і b — алгебраїчне, але ірраціональне, то a^b — трансцендентне число

[6] Проблема № 8 містить дві відомі проблеми, обидві з яких залишаються нерозв'язаними. Перша з них, Гіпотеза Рімана, є однією із семи проблем тисячоліття, що були позначені як «Проблеми Гільберта» 21-го століття

[7] Проблема № 9 була розв'язана для абелевого випадку; неабелів випадок залишається нерозв'язаним

[8] Юрій Матіясевич у 1970 році довів алгоритмічну нерозв'язність задачі про побудову універсального алгоритму, що визначає, чи є довільне діофантове рівняння розв'язним

[9] Твердження про скінченнопородженість алгебри інваріантів доведено для редуктивних груп. Нагата в 1958 році побудував приклад уніпотентної групи, у якої алгебра інваріантів не є скінченнопородженою. В. Л. Попов довів, що якщо алгебра інваріантів будь-якої дії алгебраїчної групи G на афінному алгебраїчному многовиді скінченнопороджена, то група G редуктивна.

[10] Перша (алгебраїчна) частина проблеми № 16 більш точно формулюється так. Харнаком доведено, що максимальне число овалів дорівнює M=(n-1)(n-2)/2+1, і що такі криві існують — їх називають M-кривими. Як можуть бути розташовані овали M-кривої? Ця задача зроблена до степеня n=6 включно, а для ступеня n=8 досить багато відомо (хоча її ще не добили). Крім того, є загальні твердження, що обмежують те, як овали M-кривих можуть бути розташовані — див. роботи Гудкова, Арнольда, Роона, самого Гільберта (втім, варто враховувати, що в доведенні Гільберта для n=6 є помилка: один з випадків, який він вважав неможливим, виявився можливим і був побудований Гудковим). Друга (диференціальна) частина залишається відкритою навіть для квадратичних векторних полів — невідомо навіть, скільки їх може бути, і що оцінка зверху існує. Навіть індивідуальна теорема скінченності (те, що в кожного поліноміального векторного поля є скінченне число граничних циклів) була доведена зовсім недавно. Вона вважалася доведеною Дюлаком, але в його доведенні була виявлена помилка, і остаточно ця теорема була доведена Ілляшенко і Екалем — для чого кожному з них довелося написати по книзі

[11] Наведений переклад початкової назви проблеми, даний Гільбертом: «16. Problem der Topologie algebraischer Curven und Flachen» [Архівовано 2012-02-05 у Wayback Machine.](нім.). Однак, більш точно її зміст (як це розглядається сьогодні) можна було б передати наступною назвою: «Число і розташування овалів дійсної алгебраїчної кривої даного степеня на площині; число і розташування граничних циклів поліноміального векторного поля даного степеня на площині». Ймовірно (як можна побачити з англійського перекладу тексту анонсу(англ.)), Гільберт вважав, що диференціальна частина (яка в реальності виявилася значно складнішою за алгебраїчною) буде піддаватися розв'язанню тими ж методами, що й алгебраїчна, і тому не включив її в назву.

[12] Bieberbach L. Uber die Bewegungsgruppen der Euklidischen Raume I.—Math. Ann., 1911, 70, S. 297—336; 1912, 72, S. 400—412.

[13] Рів і Грій також називають проблему № 18 «відкритою» у своїй книзі за 2000 рік, тому що задача упакування куль (відома також як гіпотеза Кеплера) не була розв'язана на той час, однак на сьогоднішній день є відомості про те, що вона уже розв'язана (див. далі). Просування в розв'язанні проблеми № 16 були зроблені в недавній час, а також в 1990-х.

[14] Thiele, Rüdiger (January 2003). Hilbert’s twenty-fourth problem (PDF). American Mathematical Monthly. Архів оригіналу (PDF) за 3 березня 2016. Процитовано 9 квітня 2018. (англ.)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[1]