Діофантові рівняння

Знаходження всіх прямокутних трикутників з цілими довжинами сторін рівнозначне розв'язанню діофантового рівняння a² + b² = c².

Діофантові рівняння — невизначені поліноміальні рівняння з цілими коефіцієнтами, в яких невідомі змінні можуть набувати тільки цілих значень. Названі на честь давньогрецького математика Діофанта Александрійського.

Діофантовим рівнянням 1-го ступеня (лінійним) з $n$ невідомими називається рівняння вигляду $(a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\ldots +a_{n}x_{n}=b)$, де всі коефіцієнти і невідомі — цілі числа і хоча б одне $a_{i}\neq 0$

Розв'язком діофантового рівняння буде n цілих чисел $(x_{1}^{\prime },x_{2}^{\prime },\ldots ,x_{n}^{\prime })$, що задовольняє $a_{1}x_{1}^{\prime }+a_{2}x_{2}^{\prime }+\ldots +a_{n}x_{n}^{\prime }=b)$

Теорема Лінійне діофантове рівняння з двома невідомими $ax+by=c$ можна розв'язати в цілих числах тоді і тільки тоді, коли число $c$ ділиться націло на НСД(а, b)

Історія

• Рівняння вигляду P(x, y,…,z)=0, де P(x, y,…,z)=0 многочлен декількох змінних із цілими коефіцієнтами, для яких потрібно знайти цілі розв'язки, називають діофантовими рівняннями. Названі вони ім'ям грецького математика Діофанта, який жив у ІІІ столітті н. е. Його книга «Арифметика» містила 189 задач із цілими числами, для кожної з яких наводилося один або декілька розв'язків.

Розв'язати діофантове рівняння означає:

• a) з'ясувати, чи має рівняння хоча б один ненульовий розв'язок у цілих числах;
• b) якщо рівняння має розв'язок в цілих числах, то з'ясувати скінченна чи нескінченна множина його розв'язків;
• c) знайти всі цілі розв'язки рівняння.

Лінійні діофантові рівняння виду навчились розв'язувати ще до Діофанта. Стародавні греки знали, що якщо це рівняння має розв'язок $(x_{0},y_{0})$, то йому буде задовольняти нескінченна множина пар (x, y) виду $x=x_{0}+bk\,\,\,y=y_{0}-bk$, де k — будь-яке ціле число.

Математики Стародавньої Греції та Стародавньої Індії знали методи розв'язання деяких рівнянь другого степеня вигляду ax²+bxy+cy²=dz². Зокрема їм були відомі всі піфагорові трійки натуральних чисел x, y, z, що задовольняють рівнянню x²+y²=z² . Всі трійки взаємно простих піфагорових чисел стародавні математики знаходили за формулами x=m²-n², y=2mn, z=m²+n² , m, n — натуральні числа, m>n.
У 20-х роках ХХ сторіччя англійський математик Морделл висунув гіпотезу, що рівняння вищого степеня, ніж третій, можуть мати лише скінчену кількість цілих розв'язків. Цю гіпотезу було доведено голландським математиком Фалтінгсом 1983 року^{[джерело?]}.

Особливе місце серед діофантових рівнянь посідає рівняння $x^{n}+y^{n}=z^{n}$, де n — натуральне число. Французький математик П'єр Ферма стверджував, що для n>2 це рівняння не має розв'язків у натуральних числах. Однак довести це твердження, яке назвали Великою теоремою Ферма, виявилося не так просто.

Діофантові рівняння першого степеня

Рівняння виду $ax+by=c,$ де a, b, c — числа, а x, y — змінні, називають діофантовим рівнянням першого степеня з двома змінними. Для розв'язання рівняння застосовують наступні теореми.

• Теорема 1. Якщо a i b — взаємно прості числа, то для будь-якого цілого c, рівняння має хоча б один розв'язок у цілих числах.
• Теорема 2. Якщо a i b мають спільний натуральний дільник d<>1 , а ціле число c не ділиться на d, то рівняння $ax+by=c$ не має розв'язків в цілих числах.
• Теорема 3. Якщо a i b — взаємно прості числа, то рівняння $ax+by=c$ має нескінченну кількість розв'язків, які знаходять за формулами $x=x_{0}+bk,\,\,\,y=y_{0}-ak$, де $(x_{0},y_{0})$ — будь-який цілий розв'язок цього рівняння, k є Z.

Частковий розв'язок $(x_{0},y_{0})$ для малих a i b можна знайти підбором, а у випадку, коли числа a i b великі, скористувавшись наступною теоремою:

• Теорема 4. НСД(a, b)=d може бути записаний у вигляді $d=am+bn,$ де m, n — цілі числа.

Приклади

• Лінійне рівняння:

$a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\ldots +a_{n}x_{n}=a$

Це рівняння має розв'язок тоді й лише тоді, коли найбільший спільний дільник $(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})$ ділить a.

• Рівняння Безу

$ax+by=d$

Має розв'язок, коли d = НСД(a, b).

• $x^{n}+y^{n}=z^{n}$:
  • При $n=2$ розв'язками рівняння будуть піфагорові трійки
  • Велика теорема Ферма стверджує, що рівняння не має розв'язків для $n>2$.
• $x^{2}-ny^{2}=1$, де n не є точним квадратом — рівняння Пелля
• $x^{z}-y^{t}=1$, де $z,t>1$, — рівняння Каталана
• $\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}y^{n-i}=c$ для $n\geq 3$ і $c\neq 0$ — рівняння Туе

Нерозв'язність у загальному вигляді

Десята проблема Гільберта, сформульована 1900 року, полягає в пошуку алгоритму для розв'зання довільних алгебраїчних діофантових рівнянь. 1970 року Юрій Матіясевіч довів алгоритмічну нерозв'язність цієї проблеми.

Див. також

• Теорія трансцендентних чисел
• Рівняння Якобі — Маддена

Література

1. L.J. Mordell (1969). Diophantine equations. Academic Press. ISBN 0-12-506250-8.
2. Wolfgang M. Schmidt.Diophantine approximations and Diophantine equations, Lecture Notes in Mathematics, Springer Verlag 2000
3. Гельфонд А. О. Решение уравнений в целых числах. — М.: Наука, 1978. — (Популярные лекции по математике).
4. Серпинский В. Н. О решении уравнений в целых числах. — М.: Физматлит, 1961. — 88 с.
5. Михайлов И. О диофантовом анализе // Квант. — 1980. — № 6. — С. 16-17,35.
6. Степанов С. А. Диофантовы уравнения // Тр. МИАН СССР. — 1984. — Т. 168. — С. 31-45.
7. Weisstein, Eric W. Diophantine Equation. Wolfram MathWorld - A Wolfram Web Resource. Архів оригіналу за 5 вересня 2015. Процитовано 15 вересня 2013. (англ.).