Доповнення Шура

У лінійній алгебрі і теорії матриць доповнення Шура для блоку матриці (тобто, підматриці в більшій матриці) визначено так. Припустимо A, B, C, D є матриці відповідно p×p, p×q, q×p і q×q, і D оборотна. Нехай

$M=\left[{\begin{matrix}A&B\\C&D\end{matrix}}\right]$

так що M — це матриця (p+q)×(p+q).

Тоді доповнення Шура для блоку D матриці M це матриця p×p

$A-BD^{-1}C.\,$

Його назвали на честь Ісаї Шура, який використав його для доведення леми Шура, хоча його використовували і до того.

Підґрунтя

Доповнення Щура виникає як результат застосування методу Гауса щодо блоків через множення на матрицю M на блокову нижньотрикутну матрицю

$L=\left[{\begin{matrix}I_{p}&0\\-D^{-1}C&I_{q}\end{matrix}}\right].$

Тут I_p позначає одиничну матрицю p×p. Після множення на матрицю L доповнення Щура з'являється у горішньому p×p блоку. Матрицю добутку така

${\begin{aligned}ML&=\left[{\begin{matrix}A&B\\C&D\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}I_{p}&0\\-D^{-1}C&I_{q}\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}A-BD^{-1}C&B\\0&D\end{matrix}}\right]\\&=\left[{\begin{matrix}I_{p}&BD^{-1}\\0&I_{q}\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}A-BD^{-1}C&0\\0&D\end{matrix}}\right].\end{aligned}}$

Це аналогічно до LDU-розкладу матриці. Тобто, ми щойно показали, що

${\begin{aligned}\left[{\begin{matrix}A&B\\C&D\end{matrix}}\right]&=\left[{\begin{matrix}I_{p}&BD^{-1}\\0&I_{q}\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}A-BD^{-1}C&0\\0&D\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}I_{p}&0\\D^{-1}C&I_{q}\end{matrix}}\right],\end{aligned}}$

отже, обернена до M можна представити за участю D⁻¹ і оберненого доповнення Щура (якщо воно існує) як

${\begin{aligned}&{}\quad \left[{\begin{matrix}A&B\\C&D\end{matrix}}\right]^{-1}=\left[{\begin{matrix}I_{p}&0\\-D^{-1}C&I_{q}\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}(A-BD^{-1}C)^{-1}&0\\0&D^{-1}\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}I_{p}&-BD^{-1}\\0&I_{q}\end{matrix}}\right]\\[12pt]&=\left[{\begin{matrix}\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}&-\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}BD^{-1}\\-D^{-1}C\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}&D^{-1}+D^{-1}C\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}BD^{-1}\end{matrix}}\right].\end{aligned}}$

Якщо M — симетрична додатноозначена матриця, то й так само буде доповнення Щура для D у M.

Якщо p і q дорівнюють 1 (тоюто A, B, C і D є скалярами), то ми отримуємо формулу для обернення матриці 2-на-2:

$M^{-1}={\frac {1}{AD-BC}}\left[{\begin{matrix}D&-B\\-C&A\end{matrix}}\right]$

за умови, що AD − BC не нуль.

Більше того, також чітко видно, що визначник M задається формулою

$\det(M)=\det(D)\det(A-BD^{-1}C)$

яка узагальнює формулу визначника у випадку матриць 2-на-2.

Умови на додатню визначеність і додатню напіввизначеність

Нехай X — це симетрична матриця задана так

$X=\left[{\begin{matrix}A&B\\B^{T}&C\end{matrix}}\right].$

Нехай X/A буде доповненням Щура для A в X, тобто

$X/A=C-B^{T}A^{-1}B,\,$

і X/C буде доповненням Щура для C в X, тобто

$X/C=A-BC^{-1}B^{T}.\,$

Тоді

• X — додатно визначена тоді і тільки тоді коли A і X/A додатно визначені:

$X\succ 0\Leftrightarrow A\succ 0,X/A=C-B^{T}A^{-1}B\succ 0$.

• X — додатно визначена тоді і тільки тоді коли C і X/C додатно визначені:

$X\succ 0\Leftrightarrow C\succ 0,X/C=A-BC^{-1}B^{T}\succ 0$.

• Якщо A — додатно визначена, тоді X — додатно напіввизначена тоді і тільки тоді коли X/A є додатно напіввизначеною:

${\text{If}}$ $A\succ 0$, ${\text{then}}$ $X\succeq 0\Leftrightarrow X/A=C-B^{T}A^{-1}B\succeq 0$.

• Якщо C є додатно визначеною, тоді X — додатно напіввизначеною тоді і тільки тоді коли X/C є додатно напіввизначеною:

${\text{If}}$ $C\succ 0$, ${\text{then}}$ $X\succeq 0\Leftrightarrow X/C=A-BC^{-1}B^{T}\succeq 0$.

Перше і третє твердження можна отримати через розгляд мінімізатора величини

$u^{T}Au+2v^{T}B^{T}u+v^{T}Cv,\,$

як функції від v (для фіксованого u).

Далі, оскільки

$\left[{\begin{matrix}A&B\\B^{T}&C\end{matrix}}\right]\succ 0\Longleftrightarrow \left[{\begin{matrix}C&B^{T}\\B&A\end{matrix}}\right]\succ 0$

і подібно для додатно напіввизначених матриць, друге (четверте) твердження негайно випливає з першого (відповідно третього) твердження.

Також існує необхідна і достатня умова на додатню напіввизначенність X в термінах узагальненого доповнення Щура. А саме,

• $X\succeq 0\Leftrightarrow A\succeq 0,C-B^{T}A^{g}B\succeq 0,(I-AA^{g})B=0\,$ і
• $X\succeq 0\Leftrightarrow C\succeq 0,A-BC^{g}B^{T}\succeq 0,(I-CC^{g})B^{T}=0,$

де $A^{g}$ позначає узагальнену обернену матрицю для $A$.

Див. також

• Матрична тотожність Вудбурі
• Лема обернення матриці

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2024. — 703 с.(укр.)