Матрична тотожність Вудбері
![{\displaystyle (A+UCV)^{-1}=A^{-1}-A^{-1}U\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acf1dc6a3db4761c3d17e30641f9a61118b136e5)
де матриці A розміру n×n, U розміру n×k, C розміру k×k і V розміру k×n.
Використовується для обернення блочної матриці.
Розв'язуючи систему матричних рівнянь
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}A&U\\V&-C^{-1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}X\\Y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}I\\0\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/122c5c05bcdc48d2b70706996c33efc23cfa4ac9)
Отримаємо систему з двох рівнянь
та
, вилучимо Y з першого рівняння:
.
Перетворимо перше рівняння так
, і підставимо його в друге рівняння
.
Отримаємо
, чи
.
Підставимо Y в
, і отримаємо
. Отримаємо
![{\displaystyle (A+UCV)^{-1}=X=A^{-1}-A^{-1}U\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fee15967a325eff9f44e31c6d121e4cc16af8a5c)
В матриці
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}A&U\\V&C\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5907bea5a46759431d5debc3e5b030c05feca890)
для обнулення елемента під A (дано що A невироджена) домножимо зліва на ліву трикутну матрицю,
а для обнулення елемента над C домножимо справа на праву трикутну матрицю.
Отримаємо LDU розклад блочної матриці
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}I&0\\-VA^{-1}&I\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A&U\\V&C\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I&-A^{-1}U\\0&I\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&0\\0&C-VA^{-1}U\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fab20d08b45a7eec8dcb8532feca18e173839ddc)
Проінвертуємо обидві сторони і перенесемо трикутні матриці направо
|
|
|
|
|
|
Також можна записати UDL розклад блочної матриці (дано що C невироджена)
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}I&-UC^{-1}\\0&I\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A&U\\V&C\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I&0\\-C^{-1}V&I\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A-UC^{-1}V&0\\0&C\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0fbbc517e51116fd0f526dfbf18fa90841607a0)
Знову проінвертуємо обидві сторони і перенесемо трикутні матриці направо
|
|
|
|
|
|
Порівняємо елементи (1,1) матриць (1) та (2) і отримаємо тотожність Вудбері:
![{\displaystyle \ (A-UC^{-1}V)^{-1}=A^{-1}+A^{-1}U(C-VA^{-1}U)^{-1}VA^{-1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb2c5e912e117cba344c1f28e9a96f040c5f5461)
Якщо n = k та U = V = In, тоді
![{\displaystyle \left(\mathbf {A} +\mathbf {C} \right)^{-1}=\mathbf {A} ^{-1}-\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {C} \left(\mathbf {C} +\mathbf {CA} ^{-1}\mathbf {C} \right)^{-1}\mathbf {CA} ^{-1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/177e83ec2430e4c3a31c8ce43e17a435773d275e)
Якщо k = 1 та C = Ik, тоді U буде вектором-стовпцем u, та V буде вектором-рядком vT. Тоді
— має назву формули Шермана — Моррісона.
Якщо A = In та C = Ik, тоді
![{\displaystyle \left(\mathbf {I} _{n}+\mathbf {UV} \right)^{-1}=\mathbf {I} _{n}-\mathbf {U} \left(\mathbf {I} _{n}+\mathbf {VU} \right)^{-1}\mathbf {V} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00e3ce0e41dfe3b228f67f0ef215c264781335e9)
зокрема, справедливо
![{\displaystyle \left(\mathbf {I} +\mathbf {uv} ^{\mathrm {T} }\right)^{-1}=\mathbf {I} -{\frac {\mathbf {uv} ^{\mathrm {T} }}{1+\mathbf {v} ^{\mathrm {T} }\mathbf {u} }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/657016ce5a419ece826093927f7cdd981429101e)