Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
В лінійній алгебрі , дуальний базис (спряжений базис ) це множина векторів , що формують базис для спряженого простору векторного простору. Для векторного простору скінченної розмірності V дуальний простір V * ізоморфний до V , для будь-якої даної множини базисних векторів {e 1 , …, e n } V , існує відповідний дуальний базис {e 1 ,…,e n } V * із співвідношенням
e
i
(
e
j
)
=
{
1
,
if
i
=
j
0
,
if
i
≠
j
.
{\displaystyle \mathbf {e} ^{i}(\mathbf {e} _{j})={\begin{cases}1,&{\text{if }}i=j\\0,&{\text{if }}i\neq j{\text{.}}\end{cases}}}
Іншими словами, ми можемо записувати вектори у n -вимірному векторному просторі V як n ×1 колонкові матриці та елементи дуального простору V * як 1×n рядкові матриці, що діють як лінійні функціонали за допомогою добутку матриць зліва.
Наприклад, стандартні базисні вектори R 2 (Декартова система координат ) є наступними:
{
e
1
,
e
2
}
=
{
(
1
0
)
,
(
0
1
)
}
{\displaystyle \{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2}\}=\left\{{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\right\}}
і стандартні базисні вектори дуального простору R 2 * наступні
{
e
1
′
,
e
2
′
}
=
{
(
1
0
)
,
(
0
1
)
}
.
{\displaystyle \{\mathbf {e} _{1}',\mathbf {e} _{2}'\}=\left\{{\begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&1\end{pmatrix}}\right\}{\text{.}}}
У 3-вимірному просторі для даного базису {e 1 , e 2 , e 3 } можна знайти біортогональний (дуальний) базис за наступними формулами:
e
1
∗
=
[
e
2
;
e
3
]
(
e
1
;
e
2
;
e
3
)
,
e
2
∗
=
[
e
3
;
e
1
]
(
e
1
;
e
2
;
e
3
)
,
e
3
∗
=
[
e
1
;
e
2
]
(
e
1
;
e
2
;
e
3
)
{\displaystyle e_{1}^{*}={\frac {\left[e_{2};e_{3}\right]}{\left(e_{1};e_{2};e_{3}\right)}},e_{2}^{*}={\frac {\left[e_{3};e_{1}\right]}{\left(e_{1};e_{2};e_{3}\right)}},e_{3}^{*}={\frac {\left[e_{1};e_{2}\right]}{\left(e_{1};e_{2};e_{3}\right)}}}
Наприклад для стандартного базису в
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
e 1 , e 2 , e 3 }:
i
=
e
1
=
(
1
0
0
)
,
j
=
e
2
=
(
0
1
0
)
,
k
=
e
3
=
(
0
0
1
)
{\displaystyle \mathbf {i} =e_{1}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},\quad \mathbf {j} =e_{2}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},\quad \mathbf {k} =e_{3}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}}
базисні вектори дуального простору
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
{
e
1
∗
,
e
2
∗
,
e
3
∗
}
=
{
(
1
0
0
)
,
(
0
1
0
)
,
(
0
0
1
)
}
.
{\displaystyle \{\mathbf {e} _{1}^{*},\mathbf {e} _{2}^{*},\mathbf {e} _{3}^{*}\}=\left\{{\begin{pmatrix}1&0&0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&1&0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&0&1\end{pmatrix}}\right\}{\text{.}}}
![{\displaystyle e_{1}^{*}={\frac {\left[e_{2};e_{3}\right]}{\left(e_{1};e_{2};e_{3}\right)}},e_{2}^{*}={\frac {\left[e_{3};e_{1}\right]}{\left(e_{1};e_{2};e_{3}\right)}},e_{3}^{*}={\frac {\left[e_{1};e_{2}\right]}{\left(e_{1};e_{2};e_{3}\right)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3954ce5209b2d56f4ecfd03e9f5f2ac8079ee7e)
