Дуальність Понтрягіна

Дуальність Понтрягіна — узагальнення перетворення Фур'є на локально компактні абелеві групи.

Побудова

Нехай G — локально компактна абелева топологічна група. В такому випадку група характерів G (гомоморфізмів з G в U(1)) теж буде локально-компактною і називається дуальною групою за Понтрягіним (G^).

Згідно з теоремою Понтрягіна про дуальність, група G^^ канонічно ізоморфна G, це виправдовує використання терміна дуальність. Слово «канонічно» означає, що існує природне відображення з G в G^^, зокрема, воно є функторіальним. Це відображення визначається наступним чином:

$x\mapsto \{\chi \mapsto \chi (x)\}.$

Іншими словами, елементу x групи G зіставляється відображення з G^ в U(1), тобто елемент G^^.

Див. також

• Спряжені змінні

Джерела

• Dixmier, Jacques (1969). Les C*-algèbres et leurs Représentations. Gauthier-Villars. ISBN 978-2-87647-013-2.
• Enock, M.; Schwartz, J.-M. (1992). Kac Algebras and Duality of Locally Compact Groups. Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-54745-7.
• Hewitt, E.; Ross, K.A. (1963). Abstract Harmonic Analysis. Т. 1. ISBN 978-0-387-94190-5.
• Hewitt, E.; Ross, K.A. (1970). Abstract Harmonic Analysis. Т. 2. ISBN 978-3-662-24595-8.
• Kirillov, Alexandre A. (1976) [1972]. Elements of the theory of representations. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. Т. 220. Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-07476-4. MR 0412321.
• Loomis, Lynn H. (1953). An Introduction to Abstract Harmonic Analysis. D. van Nostrand Co. ISBN 978-0486481234.
• Morris, S.A. (1977). Pontryagin duality and the structure of locally compact Abelian groups. Cambridge University Press. ISBN 978-0521215435.
• Onishchik, A.L. (1984). Pontrjagin duality. Т. 4. с. 481—482. ISBN 978-1402006098. Архів оригіналу за 1 липня 2019. Процитовано 1 липня 2019. {{cite book}}: Проігноровано |journal= (довідка)
• Reiter, Hans (1968). Classical Harmonic Analysis and Locally Compact Groups. ISBN 978-0198511892.
• Rudin, Walter (1962). Fourier Analysis on Groups. D. van Nostrand Co. ISBN 978-0471523642.
• Timmermann, T. (2008). An Invitation to Quantum Groups and Duality - From Hopf Algebras to Multiplicative Unitaries and Beyond. EMS Textbooks in Mathematics, European Mathematical Society. ISBN 978-3-03719-043-2.