В алгебрі ділення многочленів стовпчиком — алгоритм ділення многочлена
на многочлен
, степінь якого менше або дорівнює степеню многочлена
. Алгоритм являє собою узагальнену форму ділення чисел стовпчиком, легко реалізується вручну.
Для будь-яких многочленів
та
,
, існують єдині поліноми
та
, такі що
,
причому
має нижчу ступінь, ніж
.
Метою алгоритму ділення многочленів в стовпчик є знаходження частки
і остачі
для заданих діленого
та ненульового дільника
.
Ділити многочлени в стовпчик можна алгоритмом, аналогічним до того, як діляться натуральні числа.
- Спочатку треба перевірити, чи обидва многочлени впорядковані за спадними степенями тієї самої змінної; якщо ні, то впорядкувати їх, дописуючи також ті члени, яких немає (наприклад, замість
писатиметься
).
- «Підготувати» многочлени до ділення.
- Поділити найстарший член діленого на найстарший член дільника.
- Помножити отриманий одночлен на дільник.
- Відняти отриманий многочлен від діленого.
- Продовжувати так само, поки не отримаємо нуль або многочлен зі степенем меншим за степінь дільника. Це і є остача даного ділення.
Покажемо, що
![{\displaystyle {\frac {x^{3}-12x^{2}-42}{x-3}}=x^{2}-9x-27-{\frac {123}{x-3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f61eb70efa221427be9813356942a5a403da332b)
Частка і остача від ділення можуть бути знайдені при виконанні наступних кроків:
1. Ділимо перший елемент діленого на старший елемент дільника, розташовуємо результат під рисою
.
![{\displaystyle {\begin{matrix}x^{3}-12x^{2}+0x-42{\underline {\vert x-3}}\\\qquad \qquad \qquad \quad \;\vert x^{2}\\\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d61e8a2848ecd5b2c1fee007e1a43059b95fb3f)
2. Множимо дільник на отриманий вище результат ділення (на перший елемент частки). Записуємо результат під першими двома елементами діленого
.
![{\displaystyle {\begin{matrix}x^{3}-12x^{2}+0x-42{\underline {\vert x-3}}\\x^{3}\;\;-3x^{2}\qquad \qquad \;\;\vert x^{2}\quad \;\\\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04906f2a92561d91a598ed35d3711d0b37bb2ee5)
3. Віднімаємо, отриманий після множення, многочлен від діленого, записуємо результат під рискою
.
![{\displaystyle {\begin{matrix}x^{3}-12x^{2}+0x-42{\underline {\vert x-3}}\\{\underline {x^{3}\;\;-3x^{2}\qquad \qquad \;\;}}\vert x^{2}\quad \;\\-9x^{2}+0x-42\;\;\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52e33b911eeeebc247583ae510aac39c5ae26e87)
4. Повторюємо попередні 3 кроки, використовуючи як ділене многочлен, записаний під рискою.
![{\displaystyle {\begin{matrix}x^{3}-12x^{2}+\;\;0x-42\vert x-3\quad \\{\underline {x^{3}\;\;-3x^{2}\qquad \qquad \;\;\;\;}}{\overline {\vert x^{2}-9x}}\\-9x^{2}\;\;+0x-42\quad \;\;\\{\underline {-9x^{2}+27x\qquad \;}}\quad \;\;\\\quad \;-27x-42\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82ee29f6cc9ab20834a5b1caf71e7bb588793719)
5. Повторюємо крок 4.
![{\displaystyle {\begin{matrix}x^{3}-12x^{2}+\;\;0x-42\vert x-3\qquad \quad \;\\{\underline {x^{3}\;\;-3x^{2}\qquad \qquad \;\;\;\;}}{\overline {\vert x^{2}-9x-27}}\\-9x^{2}\;\;+0x-42\qquad \quad \;\;\;\\{\underline {-9x^{2}+27x\qquad \;}}\qquad \quad \;\;\;\\-27x-42\quad \\{\underline {-27x+81}}\quad \\\quad \;-123\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d83209538be9d3a25b593169bda6f5668beaefc5)
6. Кінець алгоритму.
Таким чином, многочлен
— частка від ділення, а
— остача.