Елементарний симетричний многочлен

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Елементарні симетричні многочлени — один з підвидів симетричних многочленів, їх важливість у тому, що з них можна скласти довільний симетричний многочлен.

Елементарні симетричні многочлени мають вигляд:

і так далі до

Для довільного многочлена можна записати:

Алгебраїчна незалежність

[ред. | ред. код]

Елементарні симетричні многочлени є алгебраїчно незалежними, тобто для будь-якого n > 0 не існує такого ненульового многочлена P від n змінних, що Для доведення цього факту, на множині всіх одночленів можна ввести два відношення лінійного порядку:

  • Перше відношення якщо для найменшого індексу j для якого .
  • Друге відношення є лексикографічним упорядкуванням, тобто якщо для найменшого індексу j для якого .

Якщо P є ненульовим многочленом, то його можна записати, як суму одночленів виду Нехай є одночленом, що є найбільшим у першому впорядкуванні. Тоді підставляючи і розписуючи одержаний вираз, як многочлен від одержуємо, що найбільший у другому впорядкуванні одночлен одержаного многочлена має вигляд Якщо тепер то k=0, а тому і

Теорема Вієта

[ред. | ред. код]
Докладніше: Теорема Вієта

Однією з причин широкого застосування елементарних симетричних многочленів є теорема Вієта: Нехай P — многочлен із коефіцієнтами з деякого поля старшим коефіцієнтом рівним одиниці. У своєму алгебраїчному замиканні цей многочлен має кількість коренів рівну його степеню (з урахуванням кратності коренів) і можна записати:

тоді коефіцієнти P виражаються через елементарні симетричні многочлени від його коренів. А саме:

Фундаментальна теорема про симетричні многочлени

[ред. | ред. код]

Нехай R — комутативне кільце з одиницею. Тоді довільний симетричний многочлен від n змінних з коефіцієнтами з R, може бути записаний як многочлен від змінних з коефіцієнтами з R.


Література

[ред. | ред. код]
  • Курош А. Г. Лекции по общей алгебре. — 2 изд. — М. : Наука, 1973. — 400 с.(рос.)
  • Прасолов В. В. Многочлены. — 2-е. — Москва : МЦНМО, 2001. — 336 с. — ISBN 5-94057-077-1.(рос.)
  • Smith, Larry (1995), Polynomial invariants of finite groups, Research notes in mathematics, т. 6, AK Peters, ISBN 9781568810539