Симетричний многочлен

Симетричний многочлен — многочлен від n змінних $\ F(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ , що не змінюється при всіх перестановках змінних. Тобто многочлен $F\in R[x_{1},\dots ,x_{n}]$ від n змінних над комутативним кільцем R є симетричним якщо для довільної перестановки

\sigma ={\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}&\ldots &x_{n}\\x_{\sigma (1)}&x_{\sigma (2)}&x_{\sigma (3)}&\ldots &x_{\sigma (n)}\end{pmatrix}}

справедлива рівність:

\ F(x_{1},\dots ,x_{n})=F(x_{\sigma (1)},\dots ,x_{\sigma (n)}).

Симетричні многочлени утворюють підалгебру R-алгебри $R[x_{1},\dots ,x_{n}]$ многочленів від n змінних над кільцем R.

Приклади

Для двох змінних x₁, x₂ прикладами симетричних многочленів є:

$x_{1}^{3}+x_{2}^{3}-7$
$4x_{1}^{2}x_{2}^{2}+x_{1}^{3}x_{2}+x_{1}x_{2}^{3}+(x_{1}+x_{2})^{4}$

для трьох змінних x₁, x₂, x₃ наступний многочлен теж буде симетричним

$x_{1}x_{2}x_{3}-2x_{1}x_{2}-2x_{1}x_{3}-2x_{2}x_{3}\,$

Наступний многочлен буде симетричний для довільного n:

$\prod _{1\leq i<j\leq n}(X_{i}-X_{j})^{2}.$

Натомість многочлен:

$x_{1}-x_{2}\,$

не є симетричним, оскільки після перестановки x₁ і x₂ одержується не рівний вихідному многочлен, x₂ − x₁.

Для трьох змінних прикладом несиметричного многочлена є:

$x_{1}^{4}x_{2}^{2}x_{3}+x_{1}x_{2}^{4}x_{3}^{2}+x_{1}^{2}x_{2}x_{3}^{4}.$

Особливі види симетричних многочленів

Степеневі симетричні многочлени

Степеневими симетричними многочленами називаються суми k — их степенів змінних, тобто:

$p_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})=x_{1}^{k}+x_{2}^{k}+\cdots +x_{n}^{k}.$

Елементарні симетричні многочлени

Докладніше: Елементарний симетричний многочлен

Елементарні симетричні многочлени мають вигляд:

{\begin{aligned}e_{0}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})&=1,\\e_{1}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})&=\textstyle \sum _{1\leq j\leq n}x_{j},\\e_{2}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})&=\textstyle \sum _{1\leq j<k\leq n}x_{j}x_{k},\\e_{3}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})&=\textstyle \sum _{1\leq j<k<l\leq n}x_{j}x_{k}x_{l},\\\end{aligned}}

і так далі до

e_{n}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=x_{1}x_{2}\cdots x_{n}.

Для довільного многочлена можна записати:

e_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{1\leq j_{1}<j_{2}<\cdots <j_{k}\leq n}x_{j_{1}}\cdots x_{j_{k}}.

Елементарні симетричні многочлени є алгебраїчно незалежними, тобто для будь-якого n > 0 не існує такого ненульового многочлена P від n змінних, що $P(e_{1},\ldots ,e_{n})=0.$

Тотожності Ньютона

Докладніше: Тотожності Ньютона

Між степеневими і елементарними функціями існує залежність:

ke_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{k}(-1)^{i-1}e_{k-i}(x_{1},\ldots ,x_{n})p_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n}),

Для перших кільком многочленів рівності мають вигляд:

{\begin{aligned}e_{1}&=p_{1},\\2e_{2}&=e_{1}p_{1}-p_{2},\\3e_{3}&=e_{2}p_{1}-e_{1}p_{2}+p_{3},\\4e_{4}&=e_{3}p_{1}-e_{2}p_{2}+e_{1}p_{3}-p_{4},\\\end{aligned}}

Звідси також можна навпаки визначити степеневі симетричні функції через елементарні:

{\begin{aligned}p_{1}&=e_{1},\\p_{2}&=e_{1}p_{1}-2e_{2},\\p_{3}&=e_{1}p_{2}-e_{2}p_{1}+3e_{3},\\p_{4}&=e_{1}p_{3}-e_{2}p_{2}+e_{3}p_{1}-4e_{4},\\&{}\ \ \vdots \end{aligned}}

Теорема Вієта

Докладніше: Теорема Вієта

Однією з причин широкого застосування елементарних симетричних многочленів є теорема Вієта: Нехай P — многочлен із коефіцієнтами з деякого поля старшим коефіцієнтом рівним одиниці. У своєму алгебраїчному замиканні цей многочлен має кількість коренів рівну його степеню (з урахуванням кратності коренів) і можна записати:

P=t^{n}+a_{n-1}t^{n-1}+\cdots +a_{2}t^{2}+a_{1}t+a_{0}=(t-x_{1})(t-x_{2})\cdots (t-x_{n}),

тоді коефіцієнти P виражаються через елементарні симетричні многочлени від його коренів. А саме:

{\begin{aligned}a_{n-1}&=-x_{1}-x_{2}-\cdots -x_{n}\\a_{n-2}&=x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+\cdots +x_{2}x_{3}+\cdots +x_{n-1}x_{n}=\textstyle \sum _{1\leq i<j\leq n}x_{i}x_{j}\\&{}\ \,\vdots \\a_{n-d}&=\textstyle (-1)^{d}\sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{d}\leq n}x_{i_{1}}x_{i_{2}}\cdots x_{i_{d}}\\&{}\ \,\vdots \\a_{0}&=(-1)^{n}x_{1}x_{2}\cdots x_{n}.\\\end{aligned}}

Фундаментальна теорема про симетричні многочлени

Нехай R — комутативне кільце з одиницею. Тоді довільний симетричний многочлен від n змінних з коефіцієнтами з R, може бути записаний як многочлен від змінних $e_{1},\ldots ,e_{n}$ з коефіцієнтами з R.

Доведення

Для симетричного многочлена $h(x_{1},\ldots ,x_{n})\in R[x_{1},\dots ,x_{n}],$ визначимо T = T_h як множину усіх наборів чисел $(l_{1},\ldots ,l_{n})$ для яких коефіцієнт $x_{1}^{l_{1}},\dots ,x_{n}^{l_{n}}$ в $h(x_{1},\ldots ,x_{n})$ не рівний нулю. Визначимо розмір h, як $(k_{1},\ldots ,k_{n})$ де $(k_{1},\ldots ,k_{n})$ є елементом T для якого $k_{1}$ є найбільшим з можливих, $k_{2}$ — найбільше з можливих при даному $k_{1}$ і т. д. Оскільки $h(x_{1},\ldots ,x_{n})$ є симетричним, то $(l_{1},\ldots ,l_{n})\in T$ якщо і тільки якщо кожна перестановка $(l_{1},\ldots ,l_{n})$ належить T. Звідси випливає, що $(k_{1}\geq k_{2}\geq \ldots \geq k_{n})$ . З використанням введеного поняття розміру всі елементи $R[x_{1},\dots ,x_{n}]$ можна впорядкувати: якщо h₁ має розмір $(k_{1},\ldots ,k_{n})$ і h₂ має розмір $(k_{1}',\ldots ,k_{n}')$ тоді h₁ > h₂ якщо для деякого $i\in \{1,\ldots ,n-1\}$ виконується $k_{1}=k_{1}',\ldots ,k_{i}=k_{i}'$ і $k_{i+1}>k'_{i+1}.\,$ Елементи $R[x_{1},\dots ,x_{n}],$ що мають розмір (0, 0, …, 0) є константами, тобто елементами R.

Припустимо що $(k_{1},\ldots ,k_{n})$ є розміром деякого симетричного многочлена $g\in R[x_{1},\dots ,x_{n}]$ . Для невід'ємних цілих чисел d₁, …, d_n, розмір $h=e_{1}^{d_{1}}e_{2}^{d_{2}}\dots e_{n}^{d_{n}}$ є рівним $(d_{1}+d_{2}+\dots +d_{n},d_{2}+\dots +d_{n},\ldots ,d_{n-1}+d_{n},d_{n})$ . Взявши $d_{1}=k_{1}-k_{2};d_{2}=k_{2}-k_{3};\ldots ;d_{n-1}=k_{n-1}-k_{n},d_{n}=k_{n},$ одержуємо, що розмір h рівний $(k_{1},\ldots ,k_{n})$ . Коефіцієнт при $x_{1}^{k_{1}},\dots ,x_{n}^{k_{n}}$ в h рівний одиниці. Звідси випливає, що існує елемент $a\in R,$ такий, що g − ah має менший розмір ніж g.

Як наслідок для довільного симетричного $f\in R[x_{1},\dots ,x_{n}],$ існують $a_{1},\ldots ,a_{m}\in R$ і $h_{1},\ldots ,h_{m}\in R[x_{1},\dots ,x_{n}]$ такі, що $f-a_{1}h_{1}-\dots -a_{m}h_{m}$ має розмір (0, 0, …, 0). Це завершує доведення теореми.