Ермітова форма

Ермітова форма (ермітово-симетрична напівбілінійна форма) — визначена в векторному просторі $\ L$ над полем $\mathbb {C}$ комплексних чисел функція двох аргументів $\langle \cdot ,\cdot \rangle$, що приймає значення з поля $\mathbb {C}$ і має властивості:

• напівбілінійність(чи сесквілінійність):

$\langle x+y,z+w\rangle =\langle x,z\rangle +\langle x,w\rangle +\langle y,z\rangle +\langle y,w\rangle \qquad x,y,z,w\in L$

$\langle ax,by\rangle ={\bar {a}}b\langle x,y\rangle \qquad a,b\in \mathbb {C}$

• ермітова-симетричність:

$\langle x,y\rangle ={\overline {\langle y,x\rangle }}$

Із властивості ермітової симетричності випливає, що $\langle x,x\rangle$ є дійсним числом.

В випадку виконання додаткової умови

• $\forall x\in L\setminus \{0\}\qquad \langle x,x\rangle >0$

форма називається додатньо-визначенною ермітовою формою чи ермітовим скалярним добутком.

Див. також

• Білінійна форма
• Квадратична форма

Джерела

• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — 5-е. — Москва : Наука, 1998. — 320 с. — ISBN 5791300158.(рос.)
• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2024. — 400+ с.(укр.)