Задача Фараона

Задача Фараона — одна з задач математики. Задача була поставлена в 8 столітті до н. е. Розв'язанням цієї задачі займались провідні математики минулого.

В подальшому було знайдено математичний метод вирішення задачі. Відповіддю є ірраціональне алгебраїчне число, яке є коренем рівняння 8 степеня.

Умова

На дно колодязя опустили дві палиці довжиною 2 м і 3 м так, щоб вони перетиналися. Відстань від їх перетину до дна становить 1 м. Знайти діаметр основи.

Розв'язок

В задачі, незважаючи на просте формулювання, точний розв'язок знайти важко.

Легко звести задачу до знаходження додатнього кореня рівняння ${\frac {1}{\sqrt {9-d^{2}}}}+{\frac {1}{\sqrt {4-d^{2}}}}=1$ (За теоремою Піфагора і властивостями подібних трикутників отримаємо дві пропорції: ${\frac {\sqrt {9-d^{2}}}{d}}={\frac {1}{x}}$   (1)  та  ${\frac {\sqrt {4-d^{2}}}{d}}={\frac {1}{d-x}}$   (2). З пропорції (1): $x={\frac {d}{\sqrt {9-d^{2}}}}$ . Підставимо значення $x$ в (2), отримаємо ${\frac {\sqrt {4-d^{2}}}{d}}={\frac {1}{d-{\frac {d}{\sqrt {9-d^{2}}}}}}$ . Перетворюючи останнє рівняння, отримаємо ${\frac {1}{\sqrt {9-d^{2}}}}+{\frac {1}{\sqrt {4-d^{2}}}}=1$). Далі будь-якою підстановкою, що знижує степінь (наприклад, $d^{2}=t+6{,}5$) рівняння перетворюється на рівняння четвертого степеня, яке розв'язується, наприклад, методом Феррарі і за допомогою формули Кардано.

В результаті виходить відповідь $d\approx 1{,}23119\ldots$.