Задача Ґурси

Зада́ча Ґурси́ — різновид крайової задачі для гіперболічних рівнянь і систем 2-го порядку з двома незалежними змінними за даними на двох характеристичних кривих, які виходять з однієї точки.

Історична довідка

Задачу названо на честь математика Е. Ґурси. В його «Курсі математичного аналізу» їй присвячено окремий параграф.

Постановка задачі

Нехай на ділянці $\Omega$ задано гіперболічне рівняння $u_{xy}=F(x,\,y,\,u,\,u_{x},\,u_{y})$ та крайову умову.

Задача: знайти регулярний на ділянці $\Omega$ і неперервний на замиканні ${\bar {\Omega }}$ розв'язок за крайовою умовою.

У «Математичній енциклопедії» крайову умову сформульовано так:

$u(0,\,t)=\varphi (t),\;u(t,\,1)=\psi (t),\;\varphi (1)=\psi (0)$, де $\varphi$ і $\psi$ — задані неперервно диференційовні функції.

У підручнику Тихонова, Самарського її сформульовано дещо інакше:

$u(x,\,0)=\varphi _{1}(x),\;u(0,\,y)=\varphi _{2}(y)$, де $\varphi _{1}$ і $\varphi _{2}$ задовольняють умови спряження та диференційовності.

Легко бачити, що це задача з даними на характеристиках рівняння. Вона примітна тим, що для задання розв'язку достатньо двох функцій (порівн. з початково-крайовою задачею).

У «Курсі» Ґурси йдеться про загальніший випадок:

$u(x,\,\pi (x))=\varphi (x),\;u(\chi (y),\,y)=\psi (y)$

Розв'язання

Існування розв'язку

Якщо функція $F$ неперервна для всіх $(x,\,y)\in {\bar {\Omega }}$ і для будь-яких $u,\;p=u_{x},\;q=u_{y}$ допускає похідні $F_{u},\;F_{p},\;F_{q}$, які за абсолютною величиною менші від деякого числа, то в ділянці ${\bar {\Omega }}$ існує єдиний та стійкий розв'язок.

Метод Рімана

Розглядають лінійний випадок. Початкове рівняння набуває вигляду $Lu\equiv u_{xy}+au_{x}+bu_{y}+cu=f$.

Вводять функцію Рімана $R(x,\,y;\;\xi ,\,\eta )$, яка однозначно визначається як розв'язок рівняння

$R_{xy}-(aR)_{x}-(bR)_{y}+cR=0$,

що задовольняє умови

$R(\xi ,\,y;\;\xi ,\,\eta )=\exp \int \limits _{\eta }^{y}a(\xi ,\,t)dt$

$R(x,\,\eta ;\;\xi ,\eta )=\exp \int \limits _{\xi }^{x}b(t,\,\eta )dt$

де $(\xi ,\,\eta )\in \Omega$ — довільна точка.

Розв'язок задачі Ґурси в лінійному випадку в «Енциклопедії» наведено при $\varphi =\psi \equiv 0$

$u(x,\,y)=\int \limits _{0}^{x}d\xi \int \limits _{1}^{y}R(\xi ,\,\eta ;\;x,\,y)f(x,y)d\eta$

Метод послідовних наближень

Розглядають два випадки.

1. $F(x,\,y,\,u,\,u_{x},\,u_{y})=f(x,\,y)$

Послідовно інтегруючи початкове рівняння, отримують аналітичну формулу

$u(x,\,y)=\varphi _{1}(x)+\varphi _{2}(y)-\varphi _{1}(0)+\int \limits _{0}^{y}\int \limits _{0}^{x}f(\xi ,\,\eta )d\xi d\eta$

З неї випливає існування та єдиність розв'язку цієї задачі.

2. $F(x,\,y,\,u,\,u_{x},\,u_{y})=au_{x}+bu_{y}+cu+f$

Початкове рівняння перетворюють на інтегро-диференціальне рівняння

$u(x,\,y)=\int \limits _{0}^{y}\int \limits _{0}^{x}\left[au_{\xi }+bu_{\eta }+cu\right]d\xi d\eta +\varphi _{1}(x)+\varphi _{2}(y)-\varphi _{1}(0)+\int \limits _{0}^{y}\int \limits _{0}^{x}f(\xi ,\,\eta )d\xi d\eta$

Це рівняння розв'язують методом послідовних наближень. Нульове наближення $u_{0}(x,\,y)=0$ підставляють у інтегро-диференціальне рівняння. Результат приймають за перше наближення, яке в свою чергу підставляють у інтегро-диференціальне рівняння і т. д. Так виходить нескінченна послідовність $\left\{u_{n}(x,\,y)\right\}$. Далі доводять збіжність цієї послідовності і знаходять її границю $u(x,\,y)=\lim _{n\to \infty }u_{n}(x,\,y)$. Ця границя і є розв'язком задачі.