Інтеграл, залежний від параметра — математичний вираз, що містить визначений інтеграл і залежність від однієї або декількох змінних («параметрів»).
Нехай у двовимірному евклідовому просторі задана область
, на якій визначена функція
двох змінних.
Нехай далі,
.
Функція
і називається інтегралом, що залежить від параметра.
Властивості інтеграла, залежного від параметра
[ред. | ред. код]
Нехай функція
неперервна в області
як функція. Тоді функція
неперервна на відрізку
.
Доведення
Розглянемо приріст інтеграла, залежного від параметра.
.
За теоремою Кантора, неперервна на компакті функція рівномірно неперервна на ньому, тобто
.
Тому,
при
, що й означає неперервність функції
Нехай тепер на області
неперервна не лише функція
, але і її частинна похідна
.
Тоді
, або, що те саме,
Доведення
Дані перетворення були виконані з використанням теореми про середнє Лагранжа. Розглянемо тепер вираз
.
Використовуючи знову теорему Кантора, але для функції
ми отримуємо, що
при
, що і доводить дану теорему
Якщо функція
неперервна в області
, то
, або, що те саме:
Доведення
Розглянемо дві функції:
на
, тому
.
Так як
, то
і
На
. Підставляючи
отримаємо умови теореми.