Збіжність за Чезаро

Збіжність за Чезаро — узагальнення поняття збіжності числових і функціональних рядів, введене італійським математиком Ернесто Чезаро. Фактично існує ціле сімейство визначень, що залежать від параметра k. Спершу збіжність була визначена Чезаро для цілих додатних значень параметра k і застосована до множення рядів. Пізніше поняття збіжності за Чезаро було поширено на довільні значення k у тому числі і на комплексні. Методи знаходження суми за Чезаро мають численні застосування: при множенні рядів, в теорії рядів Фур'є і інших питаннях.

Визначення

Ряд $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ називається збіжним за Чезаро порядку k або (C, k)-збіжним із сумою S, якщо:

$\lim _{n\to \infty }{\frac {A_{n}^{k}}{E_{n}^{k}}}=S$

де $A_{n},E_{n}$ визначаються як коефіцієнти розкладу:

$\sum _{n=0}^{\infty }A_{n}^{\alpha }x^{n}={\frac {\displaystyle {\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}}{(1-x)^{1+\alpha }}},$

$\sum _{n=0}^{\infty }E_{n}^{\alpha }x^{n}=(1-x)^{-1-k},$

Властивості

При k = 0 збіжність за Чезаро є звичайною збіжністю ряду, при k = 1 ряд є збіжним із сумою S, якщо $\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}s_{k}=S,$ де $s_{k}=a_{1}+\cdots +a_{k}$ — часткові суми ряду .

Методи (C, k) знаходження суми ряду є цілком регулярними при $k\geq 0$ і не є регулярними при $k<0$. Сила методу зростає із збільшенням k: якщо ряд є збіжним для k, то для k^' > k > -1 він теж буде збіжним із тією ж сумою.

При k <-1 ця властивість не зберігається.

Якщо ряд $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ є (C, k)-збіжним, то $a_{n}=o(n^{k})\,$.

Збіжність за Чезаро (C, k) рівносильна і сумісна зі збіжністю Гельдера (H, k) і Рісса (R, n, k) (k >0). При будь-якому k > -1 метод (C, k) ' слабшим за метод Абеля.^{[джерело?]}

Приклади

Ряд Гранді

Нехай a_n = (-1)ⁿ⁺¹ for n ≥ 1. Тобто, {a_n} є послідовністю

$1,-1,1,-1,\ldots .\,$

Послідовність часткових сум {s_n} має вигляд:

$1,0,1,0,\ldots ,\,$

і очевидно, що ряд Гранді не збігається у звичному розумінні. Натомість членами послідовності {(s₁ + ... + s_n)/n} є

${\frac {1}{1}},\,{\frac {1}{2}},\,{\frac {2}{3}},\,{\frac {2}{4}},\,{\frac {3}{5}},\,{\frac {3}{6}},\,{\frac {4}{7}},\,{\frac {4}{8}},\,\ldots ,$

і загалом

$\lim _{n\to \infty }{\frac {s_{1}+\cdots +s_{n}}{n}}=1/2.$

Отже ряд ряд Гранді є збіжним за Чезаро з параметром 1 і його сума дорівнює 1/2.

Див. також

• Збіжність за Борелем
• Збіжність за Ейлером
• Збіжність за Пуассоном — Абелем

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2200+ с.(укр.)
• Математическая энциклопедия / Под ред. И. М. Виноградова. Том 5 — М.: Наука, 1985
• Барон С. А., Введение в теорию суммируемости рядов, 2 изд., Таллин, 1977.
• Зигмунд А., Тригонометрические ряды, пер. с англ., т.1, М., 1965;
• Харди Г., Расходящиеся ряды, пер. с англ., М., 1951;
• Shawyer, Bruce; Watson, Bruce (1994), Borel's Methods of Summability: Theory and Applications, Oxford UP, ISBN 0-19-853585-6 .
• Збіжність за Чезаро на PlanetMath.(англ.)