Збіжність за Ейлером

Збі́жність за Е́йлером — узагальнення поняття збіжності знакозмінного ряду, запропоноване Ейлером.

Визначення

Нехай дано числовий ряд $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}.$ Ряд називають збіжним за Ейлером, якщо існує границя:

$\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}{\frac {\Delta ^{k}a_{0}}{2^{k+1}}}=s_{e}(A)$

Приклад

• Розглянемо ряд $\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}2^{k}$. Послідовностями різниць будуть $1,2,4,8,16,...$, $-1,-2,-4,-8,...$, $1,2,4,8,...$, $-1,-2,-4,-8,...$, перетворення Ейлера приводить до ряду ${\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}-{\frac {1}{16}}+...={\frac {1}{3}}$.

Властивості

• Підсумовування за Ейлером є лінійним і регулярним.

Див. також

• Збіжність за Борелем
• Збіжність за Чезаро
• Збіжність за Пуассоном — Абелем

Література

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)
• Воробьев Н. Н. Теория рядов. — М. : Наука, 1986. — 408 с.