Звуження функції

Звуження функції на підмножину $X$ її області визначення $D\supset X$ — функція з областю визначення $X$, що збігається з початковою функцією на всій $X$.

Звуження функції $f$ на $X$ зазвичай позначають $f|_{X}$ або $f|X$.

Так, для $f:A\to B$, і $X\subset A$, $g=f|_{X}$ означає, що $g:X\to B$ і $g(x)=f(x)$ для будь-якого $x\in X$.

Визначення

Нехай дано відображення $f\colon X\to Y$ і $M\subset X$.

Функцію $g\colon M\to Y$, яка набуває на $M$ тих самих значень, що й функція $f$, називають звуженням (або, інакше обмеженням) функції $f$ на множину $M$.

Варіації та узагальнення

• Найзагальніше визначення звуження реалізується в контексті пучків^{[уточнити]}.
• Для функції $f:A\to B$ розглядають також звуження на підмножину $A\times B$

Продовження

Якщо функція $g\colon M\to Y$ така, що вона є звуженням для деякої функції $f\colon X\to Y$, то функцію $f$, відповідно, називають продовженням функції $g$ на множину $X$.

Маючи деяку функцію $f\colon X\to Y$, її можна продовжити нескінченним числом способів на множину $M\supset X$, зокрема й неперервним способом. Однак, якщо функція $f$ — аналітична функція в $X$, то існує єдине аналітичне продовження на $M$.

Див. також

• Оператор сліду