Змішаний об'єм в опуклій геометрії — невід'ємне число, яке співставляється набору з
опуклих тіл в
-мірному Евклідовому просторі. Число залежить від розмірів тіл та їх взаємного положення.[1]
Змішаний об'єм набору
зазвичай позначається як
.
Нехай
набір з
опуклих тіл в
і
додатних дійсних чисел.
Позначимо через
об'єм тіла
![{\displaystyle \lambda _{1}\cdot K_{1}+\lambda _{2}\cdot K_{2}+\dots +\lambda _{n}\cdot K_{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35faf18854958b142be8ee6d1ccbc38e1e2e6cc7)
де "
"означає суму Мінковського і
![{\displaystyle \lambda _{i}\cdot K_{i}=\{\,\lambda \cdot x\mid x\in K_{i}\,\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/520460add916aa1f73e26792e386a890da6fa9ce)
Функція
є однорідним многочленом степені
. Коефіцієнт цього многочлена при
за визначенням дорівнює
.
Зауважимо, що
![{\displaystyle v(\lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n})=\sum _{i_{1},\dots ,i_{n}=1}^{n}V(K_{i_{1}},K_{i_{2}},\dots ,K_{i_{n}})\cdot \lambda _{i_{1}}\cdot \lambda _{i_{2}}\cdot \dots \cdot \lambda _{i_{n}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dffa900a496e826aea67d1230c6dc995c3976726)
- Для довільних невід'ємних чисел
,
![{\displaystyle V(\lambda _{1}\cdot K_{1},\lambda _{2}\cdot K_{2},\dots ,\lambda _{n}\cdot K_{n})=\lambda _{1}\cdot \lambda _{2}\cdot \dots \cdot \lambda _{n}\cdot V(K_{1},K_{2},\dots ,K_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af443654d8e7cdc2e21050fd8c4411dc66bc4ec8)
- Змішаний об'єм інваріантний відносно паралельних переміщень тіл в наборі.
- Змішаний об'єм монотонний з включенням тіл.
- Змішаний об'єм неперервний відносно метрики Гаусдорфа.
- Змішаний об'єм невід'ємний.
- Більше того,
тільки тоді, коли в кожному
можна провести по відрізку так, щоб ці відрізки були
лінійно незалежні.
- Для невід'ємного цілого
змішаний об'єм
копій опуклого тіл
в
і
копій одиничної кулі виражається через
-у середню поперечну міру
. Зокрема
- Змішаний об'єм набору з
копій
дорівнює звичайному об'єму
.
- Змішаний об'єм набору з
копій
і одиничної кулі дорівнює площі поверхні
.
- Типове число рішень системи поліноміальних рівнянь
дорівнює змішаному об'єму многокутників Ньютона[en]
.
- нерівність Мінковського
![{\displaystyle V^{n}(K,L,\dots ,L)\geqslant V(K)\cdot V^{n-1}(L)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95d1adbabe5140b6c1354a5ec6be6fdade3cbd70)
- нерівність Александрова — Фенхеля
![{\displaystyle V(K_{1},K_{2},K_{3},\ldots ,K_{n})\geqslant {\sqrt {V(K_{1},K_{1},K_{3},\ldots ,K_{n})\cdot V(K_{2},K_{2},K_{3},\ldots ,K_{n})}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e376a98306a16367c953e2d3321967df08a8057)