Опукла геометрія

Опукла геометрія — частина геометрії, яка вивчає опуклі множини, здебільшого, у евклідовому просторі. Опуклі множини виникають природним чином в багатьох областях, у тому числі в обчислювальній геометрії, опуклому аналізі, комбінаторній геометрії, функціональному аналізі, геометрії чисел, інтегральній геометрії, лінійному програмуванні, теорії ймовірностей.

Історія

Опукла геометрія відносно молода дисципліна. Хоча перший відомий внесок в опуклу геометрію був зроблений ще у античні часи і його можна знайти у працях Евкліда і Архімеда, але самостійним розділом математики дисципліна стала в кінці XIX століття, у основному завдяки роботам Германа Брунна і Германа Мінковського для просторів вимірностей два і три. Значна частина їх результатів була незабаром узагальнена на простори більшої вимірності.

Важливість опуклої геометрії для прикладних задач проявилася в середині XX століття, коли розвиток опуклої оптимізації (опуклого програмування) потребував фактів, які стосуються опуклих тіл. Справа в тому, що ряд класичних нерівностей та оцінок, отриманих на початку XX століття для довільних опуклих тіл, не дуже залежать (або не залежать зовсім) від вимірності простору, це дозволило уникнути «прокляття розмірності» — традиційної проблеми у прикладній математиці, коли складність задачі катастрофічно зростає із збільшенням числа змінних.

Перший загальний огляд опуклої геометрії в евклідовому просторі $\mathbb {R} ^{n}$ був опублікований у 1934 році Томмі Боннезеном і Вернером Фенхелем. У 1993 році під редакцією Грубера і Вільса вийшов двотомний «Довідник з опуклої геометрії», що включає результати, отримані в XX столітті.

Класифікація

Згідно математичної предметної класифікації математична дисципліна «опукла і дискретна геометрія» включає три основних гілки:

• Загальна опуклість,
• Багатогранники,
• Дискретна геометрія.

«Загальна опуклість» потім поділяється на:

• Аксіоматична і узагальнена опуклість
• Опуклі множини без обмеження на розмірність
• Опуклі множини в топологічних векторних просторах
• Опуклі множини в двовимірних просторах (включаючи опуклі криві)
• Опуклі множини в тривимірних просторах (включаючи опуклі поверхні)
• Опуклі множини в n — мірних просторах (включаючи опуклі гіперповерхні)
• Банахови простору кінцевої розмірності
• Випадкові опуклі множини та інтегральна геометрія
• Асимптотична теорія опуклих тіл
• Апроксимація опуклими множинами
• Варіанти опуклих множин (зіркоподібні, (m, n) — опуклі, і так далі)
• Теореми, подібні теоремі Хеллі і геометрична теорія трансверсалей
• Інші проблеми комбінаторної опуклості
• Довжина, площа, об'єм
• Змішаний об'єм і пов'язані поняття
• Нерівності та екстремальні задачи
• Опуклі функції і опукле програмування
• Сферична і гіперболічна опуклість

Термін «опукла геометрія» використовується також в комбінаториці як назва однієї з абстрактних моделей опуклих множин, одна з яких еквівалентна антиматроїдам.

Див. також

• Перелік тем опуклої геометрії

Посилання

• K. Ball. An elementary introduction to modern convex geometry. — Cambridge : Cambridge Univ. Press, 1997. — Т. 31. — С. 1-58. — (Flavors of Geometry, MSRI Publications)
• M. Berger. Convexity. — Amer. Math. Monthly, 1990. — Т. 97. — С. 650-678.
• P. M. Gruber. Aspects of convexity and its applications. — Exposition. Math, 1984. — Т. 2. — С. 47-83.
• V. Klee. What is a convex set?. — Amer. Math. Monthly, 1971. — Т. 78. — С. 616-631.
• Боннезен Т., Фенхель В. Теорія опуклих тіл = Theory of convex bodies, 1987. — М. : Фазис, 2002. — (Бібліотека студента-математика) — ISBN 5-7036-0075-8.
• R. J. Gardner. Geometric tomography. — 2. — New York : Cambridge University Press, 2006.
• P. M. Gruber. Convex and discrete geometry. — New York : Springer-Verlag, 2007.
• Handbook of convex geometry / P. M. Gruber, J. M. Wills. — Amsterdam : North-Holland, 1993. — Т. A, B.
• G. Pisier. The volume of convex bodies and Banach space geometry. — Cambridge : Cambridge University Press, 1989.
• R. Schneider. Convex bodies: the Brunn-Minkowski theory. — Cambridge : Cambridge University Press, 1993.
• A. C. Thompson. Minkowski geometry. — Cambridge : Cambridge University Press, 1996.
• A. Koldobsky, V. Yaskin. The Interface between Convex Geometry and Harmonic Analysis. — Providence, Rhode Island : American Mathematical Society, 2008.
• W. Fenchel. Convexity through the ages // Dansk. Mat. Forening. — Copenhagen, 1973. — С. 103-116 Danish Mathematical Society (1929-1973). Переклад на англійську: Convexity through the ages, in: P. M. Gruber, JM Wills (editors), Convexity and its Applications, pp. 120–130, Birkhauser Verlag, Basel, 1983.
• P. M. Gruber. Ein Jahrhundert Mathematik 1890-1990 / G. Fischer, et al. — Freiburg : F. Wieweg and Sohn, Braunschweig; Deutsche Mathematiker Vereinigung, 1990. — Т. 6,. — С. 421-455. — (Dokumente Gesch. Math.)
• P. M. Gruber. Handbook of convex geometry / P. M. Gruber, J. M. Wills. — Amsterdam : North-Holland, 1993. — Т. A. — С. 1-15.