Касп (математика)

В математичній теорії сингулярностей касп (англ. cusp — загострення) є одним з видів особливих точок кривої.

У математиці

У математиці: точка $x$ алгебричної кривої $X$ над алгебрично замкненим полем $k$ називається каспом, якщо поповнення її локального кільця ізоморфне поповненню локального кільця плоскої алгебричної кривої $y^{2}+x^{3}=0$ на початку координат.

Каспи — локальні особливості, вони не утворюються в точках самоперетину кривих.

Всі каспи плоских кривих дифеоморфні одній з таких форм — x² − y^2k+1 = 0, де k ≥ 1 — ціле число.

Приклад

Розглянемо гладку дійсно-значну функцію двох змінних f(x, y), де x і y — дійсні числа. Отже f діє з площини на пряму. На простір усіх таких гладких функцій поширюється групова дія дифеоморфізмів і перетворень площини і перетворень прямої. Тобто можлива дифеоморфні перетворення як в області визначення так і в області значень функції. Така дія розбиває простір функції на класи еквівалентності — тобто орбіти групової дії. Одна така сім'я класів еквівалентності позначається A_k^± де k невід'ємне ціле. Функція f належить до типу A_k^± де k якщо вона лежить в орбіті x² ± y^k+1, тобто існує дифеоморфне перетворення координат в базовому і дотичному просторах яке перетворює f в одну з таких форм.

Див. також

Каспи — воронкоподібні стоки для заряджених частинок у структурі магнітного поля Землі поблизу полюсів планети.
Точка зламу

Приклади

Звичайний касп, утворений каустикою світлових променів на дні чашки.

Звичайний касп x² − y³ = 0, тобто 0-рівень A₂-особливості
Рамфоїдний касп (з грецької — дзьобоподібний) x² — y⁵ = 0, тобто 0-рівень A₄-особливості.

Посилання

Bruce, J. W.; Giblin, P. J. (1984). Curves and Singularities. Cambridge University Press. ISBN 0521429994.
Porteous, Ian (1994). Geometric Differentiation. Cambridge University Press. ISBN 052139063X.
http://www.sciencedaily.com/releases/2009/04/090414160801.htm [Архівовано 5 червня 2011 у Wayback Machine.]