Квантовий LC-контур

Квантовий LC-контур (Quantum LC circuit) - аналітичне продовження класичного $LC-$ осцилятора (коливального контуру) на область квантової механіки. Із класичної електродонаміки відоме диференційне рівняння для реактивного коливального контуру у вигляді:

$L{\frac {d^{2}q}{dt^{2}}}+R{\frac {dq}{dt}}+{\frac {q}{C}}=0$

де $L\$ - індуктивність контуру, $R\$- активний опір системи (за рахунок з'єднувальних провідників) та $C\$- ємність контуру.

За своєю математичною формою і фізичним змістом це класичне диференційне рівняння еквівалентне диференційному рівнянню вільних затухаючих коливань кульки, підвішеної на пружині:

$m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+r{\frac {dx}{dt}}+kx=0$

де $m\$- маса кульки, $r\$ механічний опір коливанням маятника та $k\$- коефіцієнт пружності.

Таким чином, в класичній фізиці ми маємо взаємну відповідність між механічними та електродинамічними фізичними величинами:

$L\leftrightarrow m$ (індуктивність <--> маса)

$C\leftrightarrow 1/k$ (ємність <--> 1/пружність)

$x\leftrightarrow q$ (зміщення <--> заряд).

Квантові оператори електромагнітних величин

Оператор імпульса в зарядовому просторі можна подати у наступному вигляді:

${\hat {p}}_{L}=-i\hbar {\frac {d}{dq}},{\hat {p}}_{L}^{*}=i\hbar {\frac {d}{dq}}$

де $\hbar -$ приведена стала Планка, а ${\hat {p}}_{L}^{*}$- комплексно- спряжений оператор імпульса. Оператор Гамільтона в зарядовому просторі можна подати у вигляді:

${\hat {H}}_{L}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2L}}{\frac {d^{2}}{dq^{2}}}+{\frac {L\omega _{0}^{2}}{2}}{\hat {q}}^{2}$

де ${\hat {q}}^{*}-$ комплексно- спряжений оператор заряду, а

$\omega _{0}={\sqrt {{\frac {1}{LC}}-{\frac {R^{2}}{4L^{2}}}}}-$ резонансна частота коливного контуру. Єдина відмінність зарядового простору від традиційного 3Д- простору в тому, що від одновимірний. Правда в ньому негативні координати необхідно сприймати цілком серйозно, адже вони пов'язані із зарядами!

Рівняння Шредінгера для електромагнітного осцилятора

Використовуючи оператори зарядового простору, рівняння Шредінгера для електромагнітного осцилятора можна записати у вигляді:

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2L}}{\frac {d^{2}\Psi }{dq^{2}}}+{\frac {L\omega _{0}^{2}}{2}}q^{2}\Psi =W\Psi$

Для розв'язку цього рівняння необхідно ввести безрозмірні змінні для зарядів та енергії:

$\xi =q{\sqrt {\frac {L\omega _{0}}{\hbar }}}$

$\lambda ={\frac {2W}{\hbar \omega _{0}}}$

де $q_{0}={\sqrt {\frac {\hbar }{L\omega _{0}}}}$- масштабний заряд.

Тоді рівняння Шредінгера в безрозмірних змінних приймає форму рівняння Чебишева- Ерміта:

$({\frac {d^{2}}{d\xi ^{2}}}+\lambda -\xi ^{2})\Psi =0$

Власні значення гамільтоніана тут будуть:

$W_{n}=\hbar \omega _{0}(n+1/2).\$

де при $n=0$ маємо "нульові коливання":

$W_{0}=\hbar \omega _{0}/2.\$

В загальному випадку масштабний заряд можна записати у вигляді:

$q_{0}={\sqrt {\frac {\hbar }{L\omega _{0}}}}={\frac {q}{\sqrt {4\pi \alpha }}}$

де $\alpha \$- стала тонкої структури. Очевидно, що масштабний заряд суттєво відрізняється від заряду електрона. Більше того, його квантування буде:

$q_{0n}=q_{0}{\sqrt {2n+1}},n=0,1,2,...\$.

Основні співвідношення для реактивного квантового контуру

Очевидно, що величини квантових індуктивностей та ємностей взаємозв'язані. В квантовому випадку так само, як і в класичному, ми маємо такі співвідношення для резонансної частоти та хвильового опору:

$\omega _{q}={\frac {1}{\sqrt {LC}}}\$

$\rho _{q}={\sqrt {\frac {L}{C}}}$

Ця система рівнянь дає можливість знаходження реактивних параметрів:

$C={\frac {1}{\omega _{q}\rho _{q}}}\$

$L={\frac {\rho _{q}}{\omega _{q}}}\$

Проте класичний хвильовий опір в класичній електродинаміці рівний величині:

$\rho _{q}={\sqrt {\frac {L}{C}}}={\sqrt {\frac {\mu _{0}\mu }{\epsilon _{0}\epsilon }}}$.

А у квантовому випадку із врахуванням співвідношень:

$\mu =\epsilon =1\$

ми будемо мати хвильовий опір вакууму:

$\rho _{q}={\sqrt {\frac {\mu _{0}}{\epsilon _{0}}}}=\rho _{0}.$.

На резонансну частоту $LC-$ контуру також накладається умова:

$\omega _{0}=\omega _{q}\$.

В загальному випадку повна енергія контуру є постійна величина:

$W_{t}={\frac {q^{2}}{2C}}+{\frac {LI^{2}}{2}}=const.$

Прирівнюючи цю енергію нульовим коливанням, знаходимо максимальний струм в контурі:

$I_{0}^{2}={\frac {\hbar \rho _{0}}{L^{2}}}$

А у випадку нульового струму в контурі, отримаємо максимальний заряд на ємності:

$Q_{0}^{2}={\frac {\hbar }{\rho _{0}}}$

Між цими величинами справедливе співвідношення:

$I_{0}Q_{0}=\hbar ^{2}/L^{2}$.

Триєдина постановка задачі про квантовий рух частки маси m та заряду q

Так само, як і рівняння Клейна- Гордона задача про квантовий зарядовий осцилятор самостійного значення не має. Будь-який квантовий рух частки з відмінними від нуля масою та зарядом в рамках квантової фізики повинен розглядатися за допомогою самопогодженого розв'язку трьох квантовомеханічних рівнянь. Очевидно, що першим рівнянням повинно бути рівняння Шредінгера, що задає енергетичний і просторовий масштаби проблеми (аналог рівняння Н'ютона для руху частки). Другим повинно бути рівняння Клейна- Гордона що враховує релятивістську масу спокою частки, котра подається у вигляді стоячої хвилі матерії, на відстані, що визначається рівнянням Шредінгера. Тут також задається товщина стоячої хвилі матерії, котра рівна комптонівській довжині хвилі частки. І тільки третім рівнянням повинно бути рівняння зарядового осцилятора, в рамках якого використовуються реактивні параметри (ємність та індуктивність) стоячої хвилі матерії, товщина якої рівна комптонівській довжині частки.

Таким чином, рівняння Шредінгера задає основні параметри системи, зв'язані з рухом частки. Проте тільки рівняння Клейна- Гордона описує конкретну розмазку маси самопогоджену з рівнянням Шредінгера. А рівняння зарядових осциляцій описує розмазку заряду в тому ж об'ємі, що задає рівняння Клейна- Гордона.

Дивись також

• Гармонічний осцилятор
• Квантовий осцилятор

Джерела

• Quantum Lc-circuit satisfying the Schrodinger-Fisher-Kolmogorov equation and quantization of Dc–Pumped Josephson parametric amplifier
• Quantum Optical Communication

Література

• Яворский Б.М, Детлаф А.А., Милковская Л.Б. Курс физики. Т.2. Электричество и магнетизм, Изд. 3-е испр., М.:Высшая школа, 1966.-412с.
• Кузьмичев В.Е. Законы и формулы физики.- Киев: Наук. думка, 1989.- 864с.
• Yakymakha O.L., Kalnibolotskij Y.M., Solid- State Electronics, vol.37, No.10,1994.,pp.1739-1751 pdf
• Yakymakha O.L., Kalnibolotskij Y.M., Solid- State Electronics, vol.38, No.3,1995.,pp.661-671 pdf
• Yakymakha O.L., High Temperature Quantum Galvanomagnetic Effects in the Two- Dimensional Inversion Layers of MOSFET's, p.91. Vyscha Shkola, Kyiv (1989).
• Michel H.Devoret. Quantum Fluctuation in Electric Circuit.PDF