Квантування Дірака

Квантування Дірака (англ. Dirac Quantization) в системі СГС має вигляд:

${\frac {eg}{2\pi \hbar c}}=n=integer$,

де $e-$ заряд електрона, $g-$ елементарний магнітний заряд, $\hbar -$ приведена стала Планка та $c-$ швидкість світла у вакуумі.

Виведення умови квантування Дірака для магнітного монополя

Поле, створене магнітним монополем, може бути описано векторним-потенціалом $A_{\mu }$. Якщо допустити існування стрибка $\mathbf {A_{\mu }}$ на деякій (довільній) поверхні $S$, яка перетинає магнітний монополь і ділить простір на дві зв'язні частини. Тоді напруженість поля неперервна на поверхні $S$ всюди, крім точки розташування магнітного монополя, а сама поверхня може бути довільним чином деформована за допомогою калібрувальних перетворень. Циркуляція стрибка $\mathbf {A}$ на будь-якому контурі, що лежить на $S$ і захвачує магнітний монополь, рівна магнітному потоку, який витікає з магнітного монополя, тобто є рівна (згідно з теоремою Гауса) заряду $g$. Контурний інтеграл від 4-вектора $\mathbf {A}$ дає вклад в фазу $\phi$ хвильової функції електрично зарядженої частки, і стрибок $\phi$, який відповідає стрибку $\mathbf {A_{\mu }}$ на поверхні $S$, рівний $\Delta \phi =eg/\hbar c$. При виконанні умови Дірака

$\Delta \phi ={\frac {eg}{\hbar c}}=2\pi n$,

хвильова функція є неперервною у всьому просторі. До того ж стрибок $\mathbf {A_{\mu }}$ не дає вкладу в напруженість магнітного поля, яка визначається законом Кулона, і тому поверхня $S$ є неспостережна. Як цю поверхню можна вибрати конус, що прямує до нескінченності, на вершині якого і знаходиться магнітний монополь, а кут при вершині є досить малим («струна», плі «нитка», Дірака).

Можна показати (Тамм, 1931), що ефект магнітного монополя зводиться до заміни $l(l+1)$ на $l(l+1)-1/4n^{2}$ (n — ціле число в умові Дірака) у відцентровому потенціалі радіального рівняння Шредінгера, при цьому орбіт, (кутовий момент) $l$ може приймати значення:

$l_{n}={\frac {1}{2}}|n|;{\frac {1}{2}}|n|+1;{\frac {1}{2}}|n|+2;...$.

$l_{1}=1/2;3/2;5/2;...$ при $n=1$

$l_{2}=1;2;3;...$ при $n=2$

$l_{3}=3/2;5/2;7/2;...$ при $n=3$

$l_{4}=2;3;4;...$ при $n=4$.

Виглядає досить дивним, проте ці дробові числа збігаються з т.з. числами заповнення рівнів Ландау в квантовому ефекті Хола, котрий на перший погляд не має ніякого відношення до монополів Дірака (сучасна теорія КЕХ враховує тільки квантування магнітного поля, а електричне поле просто ігнорується).

Слід відзначити, що при непарному n, система з двох безспінових часток завдяки ненульовій дивергенції магнітного поля має напівцілий кутовий момент. Таким чином, з двох бозонів із ненульовими повними електричним та магнітним зарядами створюється діон, який підкоряється статистиці Фермі — Дірака. Аналогічним чином, зв'язаний стан бозона та ферміона може бути бозоном.

Див. також

• Магнітний монополь
• Квантовий ефект Хола
• Ефект Аронова-Бома