Теорема Гаусса

Класична електродинаміка
Електрика · Магнетизм
Електростатика Закон Кулона Теорема Гаусса Електричний дипольний момент Електричний заряд Електрична індукція Електричне поле Електростатичний потенціал Трибоелектрика
Магнітостатика Закон Біо-Савара-Лапласа Закон Ампера Магнітний момент Магнітне поле Магнітний потік
Електродинаміка Векторний потенціал Диполь Потенціал Ліенара — Віхерта Сила Лоренца Струм зміщення Вихрові струми Рівняння Максвелла Електричний струм Електрорушійна сила Електромагнітна індукція Електромагнітне випромінювання Електромагнітне поле
Електричне коло Закон Ома Правила Кірхгофа Індуктивність Радіохвилевід Резонатор Електрична ємність Електрична провідність Електричний опір Електричний імпеданс
Коваріантне формулювання Тензор електромагнітного поля Тензор енергії-імпульсу 4-потенціал 4-струм
Відомі науковці Генрі Кавендіш Майкл Фарадей Нікола Тесла Андре-Марі Ампер Густав Роберт Кірхгоф Гендрік Антон Лоренц Джеймс Клерк Максвелл Генріх Герц Альберт Абрагам Майкельсон Роберт Ендрюс Міллікен

Теорема Гаусса — один з основних законів електродинаміки, що входить у систему рівнянь Максвелла.

У Міжнародній системі величин (ISQ) теорема Гаусса має вигляд:

$\int _{S}\mathbf {D} \cdot \mathbf {dS} =Q$,

де D — вектор електричної індукції, $Q$ — сумарний електричний заряд в об'ємі, оточеному поверхнею S:

$Q=\int _{V}\rho dV,$

де $\rho$ — густина заряду.

У гауссовій системі СГСГ теорема Гаусса формулюється

$\int _{S}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {S} =4\pi Q$,

де $\mathbf {E}$ — напруженість електричного поля.

Теорема Гаусса і закон Кулона

Теорему Гаусса отримав у 1835 році Карл Фрідріх Гаусс, який виходив із закону Кулона. У сучасній електродинаміці зазвичай застосовують протилежний підхід — за основу приймаються рівняння Максвела, одним із яких є теорема Гаусса, а закон Кулона виводиться як наслідок.

Експериментальна перевірка справедливості закону Кулона з високою точністю набагато складніша від експериментальної перевірки теореми Гаусса.

Виведення закону Кулона

Щоб отримати закон Кулона з теореми Гаусса, розглядають точковий електричний заряд $q$ у вакуумі. На поверхні сфери радіусом $r$, у центрі якої розташований заряд, електричне поле повинно мати однакове значення, виходячи із міркувань симетрії. У вакуумі вектор електричної індукції $\mathbf {D}$ дорівнює напруженості електричного поля $\mathbf {E}$ (система СГС). Тому, застосовуючи теорему Гаусса:

$E4\pi r^{2}=4\pi q\,$.

Звідси основне твердження закону Кулона:

$E={\frac {q}{r^{2}}}$

У системі ISQ $\mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E}$, де $\varepsilon _{0}$ — електрична стала. Теорема Гаусса записується:

$\varepsilon _{0}E4\pi r^{2}=q$.

Звідси:

$E={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {q}{r^{2}}}$.

Теорема Гаусса в диференціальній формі

Теорему Гаусса можна записати у вигляді диференціального рівняння в часткових похідних, враховуючи формулу Остроградського — Гаусса (система СГС):

$\int _{S}\mathbf {E} \cdot \mathbf {dS} =\int _{V}{\text{div}}\;\mathbf {E} dV=4\pi \int _{V}\rho dV$.

Оскільки це співвідношення справедливе для будь-якого об'єму, рівними повинні бути й підінтегральні вирази:

${\text{div}}\;\mathbf {E} =4\pi \rho$.

У системі ISQ цей вираз має вигляд:

${\text{div}}\;\mathbf {D} =\rho$

Теорема Гаусса для полів у середовищі

Теорема Гаусса, як одне з основних рівнянь електродинаміки, загалом справедлива і для середовища, у своїй основній формі. Наприклад, використовуючи систему СГС:

$\int _{S}\mathbf {E} \cdot \mathbf {dS} =4\pi \int _{V}\rho dV$,

якщо під Q розуміти всі заряди, враховуючи мікроскопічні. Однак, присутність зовнішнього заряду призводить до перерозподілу мікроскопічних зарядів у речовині. Тому, якщо внести зовнішній заряд q в діелектрик, то деякі із мікроскопічних зарядів, змістившись, покинуть той об'єм, по якому проводиться інтегрування, інші — увійдуть у цей об'єм зовні — речовина поляризується.

Для врахування цих ефектів в електродинаміці суцільних середовищ усі заряди розділяються на вільні та зв'язані. Вільними вважаються ті заряди, які можна привнести зовні, заряджаючи тіла, зв'язаними — електричні заряди електронів та ядер речовини, які в зовнішніх полях зміщуються, одні відносно інших, створюючи поляризацію:

$\rho =\rho _{b}+\rho _{f}$,

де $\rho _{b}$ — густина зв'язаних зарядів, $\rho _{f}$ — густина вільних зарядів. Густина зв'язаних зарядів пов'язана з поляризацією: $\rho _{b}=-{\text{div}}\mathbf {P}$.

Тоді теорема Гаусса записується у вигляді

$\int _{S}(\mathbf {E} +4\pi \mathbf {P} )\cdot \mathbf {dS} =4\pi \int _{V}\rho _{f}dV$.

Вводячи вектор електричної індукції

$\mathbf {D} =\mathbf {E} +4\pi \mathbf {P}$,

отримуємо теорему Гаусса для діелектричних середовищ:

$\int _{S}\mathbf {D} \cdot \mathbf {dS} =4\pi \int _{V}\rho _{f}dV$,

або в диференціальній формі

${\text{div}}\;\mathbf {D} =4\pi \rho _{f}$.

Магнітне поле

Магнітні заряди (монополі) поки що експериментально не спостерігалися, тому магнітний потік через замкнену поверхню завжди дорівнює нулю:

$\int _{S}\mathbf {B} \cdot \mathbf {dS} =0.\,$

Див. також

• Теорема Остроградського — Гаусса

Джерела

• Сивухин Д.В. (1977). Общий курс физики. т III. Электричество. Москва: Наука.