Компактифікація

Компактифіка́ція — операція в загальній топології, яка перетворює довільні топологічні простори у компактні.

Формально компактифікація простору $X$ визначається як пара $(Y,\;f)$, де $Y$ — компактний простір, $f:X\to Y$ — гомеоморфізм на свій образ $f(X)$ і $f(X)$ — щільний у $Y$.

На компактифікаціях деякого фіксованого простору $X$ можна визначити частковий порядок. Покладемо $f_{1}\leqslant f_{2}$ для двох компактифікацій $f_{1}:X\to Y_{1}$, $f_{2}:X\to Y_{2}$, якщо існує неперервне відображення $g:Y_{2}\to Y_{1}$ таке, що $gf_{2}=f_{1}$. Максимальний (із точністю до гомеоморфізму) елемент за цього порядку називається компактифікацією Стоуна — Чеха і позначається $\beta X$. Для того, щоб у просторі $X$ існувала компактифікація Стоуна — Чеха, яка задовольняла б аксіомі віддільності Хаусдорфа, необхідно і достатньо, щоб $X$ задовольняв аксіомі віддільності $T_{3{\frac {1}{2}}}$, тобто був цілком регулярним.

Одноточкова компактифікація (або компактифікація Александрова) побудована наступним чином. Нехай $Y=X\cup \{\infty \}$ і відкритими множинами в $Y$ вважаються всі відкриті множини $X$, а також множини вигляду $O\cup \{\infty \}$, де $O\subseteq X$ має компактне (у $X$) доповнення. $f$ береться як природне вкладення $X$ в $Y$. Тоді $(Y,\;f)$ — компактифікація, причому $Y$ гаусдорфів тоді і тільки тоді, коли $X$ — гаусдорфів і локально компактний.

Приклади одноточкової компактифікації

$\mathbb {R} \cup \{\infty \}$ з топологією, побудованою як зазначено вище, є компактним простором. Якщо два простори гомеоморфні, то й відповідні одноточкові компактифікації гомеоморфні^{[джерело?]}. Зокрема, так як коло на площині без однієї точки гомеоморфне з $\mathbb {R}$ (приклад гомеоморфізму — стереографічна проєкція), усе коло гомеоморфне з $\mathbb {R} \cup \{\infty \}$. Аналогічно, $\mathbb {R} ^{n}\cup \{\infty \}$ гомеоморфне з $n$-вимірною гіперсферою.

Див. також

• Проєктивна геометрія