Конкретна категорія

Конкретна категорія в математиці — категорія, забезпечена строгим функтором у категорію множин. Завдяки цьому функтору можна оперувати з об'єктами такої категорії в спосіб, подібний до роботи з множинами з додатковою структурою, а морфізми подавати як функції, що зберігають додаткову структуру. Багато категорій мають очевидну інтерпретацію конкретних категорій, наприклад, категорія груп, категорія топологічних просторів і власне категорія множин. З іншого боку, існують категорії, що не конкретизуються; наприклад, категорія гомотопій топологічних просторів неконкретизовна, тобто не допускає строгого функтора в категорію множин.

Визначення

Конкретна категорія — це пара $(C,U)$, така що:

• $C$ є категорією,
• $U$ — строгий функтор $C\rightarrow$ Set (категорія множин).

Функтор $U$ є забутливим функтором, який зіставляє об'єкту категорії його «множину-носій».

Категорія $C$ конкретизовна, якщо існує строгий функтор з неї категорію множин. Зокрема, всі малі категорії конкретизовні: функтор $U$ можна визначити як функтор, що відправляє об'єкт $b$ категорії $C$ у множину всіх стрілок $f:a\rightarrow b$ (для всіляких об'єктів $a$), а морфізм $g:b\rightarrow c$ категорії $C$ — морфізм $U(g):U(b)\rightarrow U(c)$, який зіставляє стрілці $f:a\rightarrow b$ композицію $gf:a\rightarrow c$.

Інтуїція

Всупереч інтуїції, «конкретність» — це не властивість, яку категорія може мати або не мати, а додаткова структура, якою її можна забезпечити, крім того, категорія може допускати кілька строгих функторів у Set. Проте на практиці цей функтор зазвичай очевидний.

Вимога строгості $U$ означає, що він відображає різні морфізми з фіксованим образом і прообразом у різні функції на множинах. Однак він може «склеювати» різні об'єкти категорії, і, якщо це станеться, він відображатиме різні морфізми в одну функцію.

Наприклад, якщо $S$ and $T$ — дві різні топології на одній множині $X$, то $(X,S)$ і $(X,T)$ — різні об'єкти категорії Top топологічних просторів і неперервних відображень, але вони відображаються в одну й ту саму множину $X$ під дією функтора Top $\rightarrow$ Set. Більш того, тотожні морфізми $(X,S)\rightarrow (X,S)$ і $(X,T)\rightarrow (X,T)$ розуміють як різні морфізми в Top, однак їм відповідає та сама функція, а саме тотожна функція на $X$.

Неконкретизовні категорії

Категорію називають неконкретизовною, якщо немає сьрогого функтора з неї в категорію множин.

Наприклад, категорія hTop, об'єкти якої — топологічні простори, а морфізми — класи гомотопних функцій, неконкретизовна. Хоча об'єкти цієї категорії можна подати як множини, проте морфізми в ній — це не функції, а, швидше, класи функцій. Відсутність строгого функтора з hTop у Set довів 1970 року Пітер Фрайд. Раніше було показано, що категорія всіх малих категорій та натуральних перетворень неконкретизовна.

Література

• Adámek, Jiří, Herrlich, Horst, & Strecker, George E.; (1990). Abstract and Concrete Categories (4.2MB PDF). Originally publ. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6. (тепер безкоштовне онлайн-видання).
• Freyd, Peter; (1970). Homotopy is not concrete. Вперше опубліковано в: The Steenrod Algebra and its Applications, Springer Lecture Notes in Mathematics Vol. 168. Перепубліковано в безкоштовному онлайновому журналі: Reprints in Theory and Applications of Categories, No. 6 (2004), з дозволу Springer-Verlag.
• Rosický, Jiří; (1981). Concrete categories and infinitary languages. Journal of Pure and Applied Algebra, Volume 22, Issue 3.