Категорія множин

Категорія множин — в теорії категорій це категорія, об'єктами якої є множини, а морфізми (стрілки) між множинами A и B — всі функції із A в B. Позначається Set.

Інші категорії (такі як категорія груп із гомоморфізмами груп як стрілками) вводять додаткову структуру для об'єктів категорії множин та/або обмежують стрілки до функцій певного вигляду.

Властивості категорії множин

• Всі епіморфізми в Set сюр'єктивні, всі мономорфізми — ін'єктивні, і всі ізоморфізми — бієкції.
• Порожня множина — початковий об'єкт категорії множин, будь-який синґлетон — термінальний об'єкт.
• Категорія Set — повна та коповна категорія. Наприклад, у ній існують добутки (декартові добутки множин) та кодобутки (диз'юнктні об'єднання множин).
• Set — прототип поняття конкретної категорії; категорія конкретна, якщо вона «схожа на» Set у деякий строго певний спосіб.
• Будь-яка двоелементна підмножина задає класифікатор підоб'єктів у Set, степеневий об'єкт множини A є його булеаном, а експоненціал множин A і B — множина функцій з A в B. Отже Set є топосом, зокрема, декартово замкнутою категорією.
• Set не є абелевою, адитивною або передадитивною. Її нульові морфізми — це порожні функції ∅ → X.
• Кожен не початковий об'єкт Set ін'єктивний і (припускаючи істинну аксіому вибору) проєктивний.

Література

• Маклейн С. Глава 1. Категории, функторы и естественные преобразования // Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — С. 17—42. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.
• Blass, A. The interaction between category theory and set theory // Contemporary Mathematics. — 1984. — № 30.
• Feferman, S. Set-theoretical foundations of category theory. — Springer, 1969. — Vol. 106. — P. 201—247. — (Lecture Notes in Mathematics).
• Lawvere, F. W. An elementary theory of the category of sets (long version) with commentary // Reprints in Theory and Applications of Categories. — 2005. — № 11. — С. 1—35.
• Mac Lane, S. Foundations for categories and sets. — Springer, 1969. — Vol. 92. — P. 146—164. — (Lecture Notes in Mathematics).
• Mac Lane, S. One universe as a foundation for category theory. — Springer, 1969. — Vol. 106. — P. 192—200. — (Lecture Notes in Mathematics).
• Pareigis, Bodo. Categories and functors. — Academic Press, 1970. — (Pure and applied mathematics). — ISBN 978-0-12-545150-5.