Консервативні сили

Робота, яку виконує сила гравітації над тілом залежить лише від зміни висоти тіла, тому що сила гравітації є консервативною

Про політичне значення словосполучення читайте в статті Консерватизм.

Консервативні сили (потенціальні сили) — сили, для яких виконується закон збереження механічної енергії.

До неконсервативних сил належать, наприклад, сила Лоренца та сила тертя. Сила Лоренца залежить не від координати частки, а від її швидкості. Сили тертя є дисипативними силами, які розсіюють механічну енергію, перетворюючи її в теплову. Сили тертя протидіють рухові й теж загалом залежать від швидкості тіла.

Математичний опис

Силове поле F, визначене будь-де у просторі (або в межах однозв'язної області простору), називається консервативною силою або потенціальним векторним полем якщо воно відповідає одній з трьох тотожних вимог:

1. Ротор F є нульовим вектором:

$\nabla \times {\vec {F}}={\vec {0}}.\,$

2. Підсумкова робота (W), виконана силою для пересування частинки по траєкторії яка починається і закінчується в одній точці, дорівнює нулю:

$W\equiv \oint _{C}{\vec {F}}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}=0.\,$

3. Силу можна записати як градієнт потенціалу, $\Phi$:

${\vec {F}}=-\nabla \Phi .\,$

Доведення того, що ці три критерії тотожні коли F є силовим полем

1 тягне 2: Нехай C буде простим замкненим шляхом (тобто, шляхом, що починається і закінчується в одній точці і не має самоперетинів), і розглянемо поверхню S для якої C є межею. Теорема Стокса каже, що $\iint _{S}(\nabla \times {\vec {F}})\cdot \mathrm {d} {\vec {a}}=\oint _{C}{\vec {F}}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}$ Якщо ротор F нульовий, то ліворуч маємо нуль і, отже, праворуч теж нуль — отже, твердження 2 істинне. 2 тягне 3: Припустимо, що 2 істинне. Нехай c буде простою кривою від початку координат до точки $x$ і визначимо функцію $\Phi (x)=-\int _{c}{\vec {F}}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}.$ Факт того, що ця функція однозначно визначена (незалежна від вибору c) випливає з твердження 2. Хоч як, з формулу Ньютона-Лейбніца, слідує що ${\vec {F}}=-\nabla \Phi .$ Отже твердження 2 тягне . 3 тягне 1: Нарешті, припустимо, що третє твердження істинне. Векторне числення нам каже, що ротор градієнта будь-якої функції дорівнює нулю ($\nabla \times (\nabla \phi )=\mathbf {0}$). Отже, якщо виконується третє твердження, тоді перше твердження також мусить виконуватись. Це показує, що $1\Rightarrow 2,2\Rightarrow 3,3\Rightarrow 1.$ Отже, доведено.

Термін консервативна сила з'явився як наслідок того, що коли діє консервативна сила, вона зберігає механічну енергію. Найвідоміші консервативні сили це гравітація, електростатична сила і сила пружної деформації.

Джерела

• Федорченко А.М. (1975). Теоретична механіка. Київ: Вища школа., 516 с.
• Лич Дж. У. Классическая механика. [Архівовано 9 квітня 2016 у Wayback Machine.] М.: Иностр. литература, 1961.