Похідна категорія – це категорія $D({\mathcal {A}})$ асоційована з абелевою категорією ${\mathcal {A}}$ , в якої обʼєкти ідентифіковани з резольвентами цих обʼєктів. Таким чином, похідна категорія є природнім контекстом для гомологічної алгебри. Вперше похідні категорії були вигадані Гротендіком в ранніх 60-х і далі розроблені його студентом Вердьʼє. Похідні категорії спрощують теорію похідних функторів і спектральних послідовностей, є частиною формулювання гомологічної дзеркальної симетрії, теорії функторів Фурʼє-Мукаї, узагальнень відповідності Рімана-Гільберта, теорії двоїсності Вердьʼє, відповідності Маккі а також вони представляють самостійний інтерес і є основним обʼєктом вивчення cпектральної алгебричної геометрії, похідної алгебричної геометрії і некомутативної похідної алгебричної геометрії.

Історія

Щоб зрозуміти впливовість і революційність конепції похідних категорій, треба зробити короткий огляд стану гомологічної алгебри на початок 60-х років ^[1]. В цей час гомологічна алгебра вже була достатньо розвиненою, були визначені і активно застосовувались такі конструкції як похідні функтори, спектральні послідовності, когомології пучків. Ці конструкції були описані, наприклад, в монографії Картана-Ейленберга (1956 рік)^[2] і пізніше узагальнені Гротендіком в його статті в журналі Tohoku (1957 рік) ^[3]. В 1958 році Гротендік анонсував на математичному конгресі в Едінбурзі свою програму переформулювання алгебричної геометрії на мову теорії схем ^[4].

В рамках цієї програми двоїсність Сера мала бути доведена для довільних алгебричних многовидів, не обовʼязково гладких і не обовʼязково над полем характеристики нуль. Розпочавши роботу над своєю програмою Гротендік зрозумів, що навіть щоб сформулювати твердження, яке він мав на увазі, йому бракує інструментів. Тому, він розробляє власний підхід до теорії похідних функторів. Гротендик пояснює свої ідеї своєму учню Вердьʼє, і пропонує йому розвинути ці ідеї в якості теми дисертації, яку Вердьʼє успішно захистив в 1963 році. Після цього, Гротендик записав свою теорію двоїсності у великому рукописі, на основі якого Хартсхорн проводить семінар в Гарварді по теорії залишків. Записки семінарів Харстхорна і резьме Вердьʼє надовго будуть єдиними існуючими джерелами по теорії похідних категорій.

КЕЛЛЕР: На початку 70-х Сато і Кошивара адаптували методи Гротендіка і Вердьʼє до дослідження систем диференціальних рівнянь в частенних похідних. Похідні категорії на цей час стають стандартною мовою мікролокального аналізу. Похідні категорії використовуються в доведенні гіпотези Данцига-Каждана і тим самим находять своє застосування в теорії зображень груп Лі і скінчених груп Шевале.

Бельʼєнсон, Бернштейн-Гельфанд

Бондал-Орлов-Капранов

Концевіч і ГДС

Лурʼє і спектральна похідна алгебрична геометрія

НСДАГ НДАГ

Похідні категорії з оснащенням, dg-оснащення, A_inf-оснащення

Мотивація і інтуіції

Ідентифікація обʼєктів з резольвентами цих обʼєктів

Приклад з UCT і формулою Кюннета

Формальне означення

Нехай ${\mathcal {A}}$ це абелева категорія. В цьому розділі ми побудуємо необмежену похідну категорію $D({\mathcal {A}})$ в 5 кроків. Спочатку побудуємо абелеву категорію $Ch({\mathcal {A}})$ необмежених ланцюгових комплексів з обʼєктами в категорії ${\mathcal {A}}$ , після цього ми побудуємо гомотопічну категорію $K({\mathcal {A}})$ обернувши всі гомотопічні еквівалентності, далі ми побудуємо необмежену похідну категорію $D({\mathcal {A}})$ обернувши всі квазіізоморфізми, після цього ми надамо $D({\mathcal {A}})$ структуру Ab-оснащеной, абелевой, а потім і триангульованої категорії, вказавши явно клас усіх виділених трикутників.

Категорія Ch(A)

Категорія $Ch(A)$, або категорія необмежених ланцюгових комплексів, це категорія обʼєкти якої є ланцюговими комплексами, а морфізми це морфізми ланцюгових комплексів.

Категорія K(A)

Категорія K(A) це гомотопічна категорія ланцюгових комплексів. Гомотопією між двома морфізмами f,g називається відображення ступені -1 таке що dh+hd = f - g.

Категорія D(A)

Ab-оснащенна категорія D(A)

Абелева категорія D(A)

Триангульована категорія D(A)

Примітки

Size issues
b,+,-
Hom складний
H^i(A^*) = 0 значить A^* = 0
H^i(f) = 0 не обовʼязково значить що f = 0
точні послідовності не виделені трикутники
Не можна взяти пулбек в D(A)
Перехід до K(A) важливий
Відносні конструкції

Приклади

Нотатки

Узагальнення

Використання

Двоїсність Сера-Вердьʼє

Теорія похідних функторів

Функтор Rf^! і формалізм шости функторів

Теорія перетворень Фурʼє-Мукаї

Дзеркальна симетрія

Відповідність маккі

Біраціональна геометрія

Спектральна алгебрична геометрія

Похідна алгебрична геометрія і некомутативна похідна алгебрична геометрія

Примітки

↑ Illusie, Luc (1990). Catégories dérivées et dualité: travaux de J.-L. Verdier. L'Enseignement Mathématique. Revue Internationale. 2e Série. 36 (3-4): 369—391. ISSN 0013-8584.
↑ Cartan, Henri; Eilenberg, Samuel (1956). Homological algebra. Princeton University Press, Princeton, NJ.
↑ Grothendieck, Alexander (1957). Sur quelques points d'algèbre homologique. The Tohoku Mathematical Journal. Second Series. 9: 119—221. doi:10.2748/tmj/1178244839. ISSN 0040-8735.
↑ Grothendieck, Alexander (1960). The cohomology theory of abstract algebraic varieties. Proc. Internat. Congress Math. 1958. Cambridge Univ. Press, New York. с. 103—118.

Література і посилання

Illusie, Luc (1990). Catégories dérivées et dualité: travaux de J.-L. Verdier. L'Enseignement Mathématique. Revue Internationale. 2e Série. 36 (3-4): 369—391. ISSN 0013-8584.
Keller, Bernhard (1996). Derived Categories and Their Uses. Handbook of Algebra. Т. 1. Elsevier. с. 671—701. ISBN 978-0-444-82212-3.

[1] Illusie, Luc (1990). Catégories dérivées et dualité: travaux de J.-L. Verdier. L'Enseignement Mathématique. Revue Internationale. 2e Série. 36 (3-4): 369—391. ISSN 0013-8584.

[2] Cartan, Henri; Eilenberg, Samuel (1956). Homological algebra. Princeton University Press, Princeton, NJ.

[3] Grothendieck, Alexander (1957). Sur quelques points d'algèbre homologique. The Tohoku Mathematical Journal. Second Series. 9: 119—221. doi:10.2748/tmj/1178244839. ISSN 0040-8735.

[4] Grothendieck, Alexander (1960). The cohomology theory of abstract algebraic varieties. Proc. Internat. Congress Math. 1958. Cambridge Univ. Press, New York. с. 103—118.

[1]

[2]

[3]

[4]