Абелева категорія

Абелева категорія — категорія, в якій морфізми можна додавати, існують ядра і коядра і при цьому виконуються деякі додаткові властивості. Прикладом, який став прототипом абелевої категорії є категорія абелевих груп. Поняття абелевої категорії було запропоновано Девідом Бухсбаумом у 1955 році (він використовував назву «точна категорія»). Згодом теорія була розроблена незалежно Александром Гротендіком для об'єднання декількох теорій когомологій. У той час існувала теорія когомологій пучків на алгебричних многовидах і теорія когомологій груп. Ці теорії вводилися по-різному, але мали подібні властивості. Гротендіку вдалося об'єднати ці теорії; обидві вони можуть бути визначені за допомогою похідних функторів на абелевій категорії пучків і абелевій категорії модулів відповідно.

Означення

Нижче подано два означення друге з яких є лише для локально малих категорій. У цьому випадку два означення є еквівалентними.

Перше означення

Категорія є абелевою, якщо:

• У ній існує нульовий об'єкт,
• Існують усі бінарні добутки і кодобутки,
• Для кожного морфізму існує ядро й коядро,
• Усі мономорфізми й епіморфізми є нормальними.

Друге означення

Локально мала категорія ${\mathcal {C}}$ називається абелевою, якщо:

• Для всіх об'єктів $X,Y\in \operatorname {Ob} {\mathcal {C}}$ на множині $\operatorname {Hom} _{\mathcal {C}}(X,Y)$ можна ввести структуру абелевої групи.
• Для морфізмів $f,f_{1},f_{2}\in \operatorname {Hom} _{\mathcal {C}}(X,Y)$ і $g,g_{1},g_{2}\in \operatorname {Hom} _{\mathcal {C}}(Y,Z)$ виконуються рівності $g\circ (f_{1}+f_{2})=(g\circ f_{1})+(g\circ f_{2})$ і $(g_{1}+g_{2})\circ f=(g_{1}\circ f)+(g_{2}\circ f)$ (білінійність). Категорія, що задовольняє цим властивостям, називається преаддитивною.
• Для довільної скінченної кількості об'єктів існує біпродукт — об'єкт, що є одночасно добутком і кодобутком об'єктів. Зокрема, у категорії є нульовий об'єкт — добуток порожньої множини об'єктів. Категорія, що задовольняє всі наведені властивості, називається аддитивною.
• Для кожного морфізму існує ядро й коядро.
• Всі мономорфізми і епіморфізми є нормальними.

Приклади

• Категорія абелевих груп є абелевою. Категорія скінченнопороджених абелевих груп також є абелевою, як і категорія скінченних абелевих груп.
• Якщо $R$ — кільце, то категорія лівих (або правих) модулів над $R$ є абелевою. Згідно з теоремою Фрейда — Мітчелла про вкладення, будь-яка мала абелева категорія є еквівалентною повній підкатегорії категорії модулів.
• Якщо $R$ — нетерове зліва кільце, то категорія скінченнопороджених лівих $R$-модулів є абелевою. Зокрема, категорія скінченнопороджених модулів над нетеровим комутативним кільцем є абелевою.
• Категорії векторних росторів і скінченновимірних векторних просторів над довільним полем є абелевими.
• Якщо $X$ — топологічний простір, то категорія пучків абелевих груп на $X$ є абелевою.
• Якщо $X$ — топологічний простір, то категорія векторних розшарувань на $X$ зазвичай не є абелевою, оскільки можуть існувати мономорфізми, що не є ядрами.

Аксіоми Гротендіка

У статті Sur quelques points d'algebre homologique Гротендік запропонував кілька додаткових аксіом, які можуть виконуватися в абелевій категорії ${\mathcal {A}}$.

• AB3) Для будь-якої множини об'єктів $(A_{i})_{i\in I}$ категорії ${\mathcal {A}}$ існує кодобуток $\oplus A_{i}$. Дана аксіома еквівалентна коповноті абелевої категорії ${\mathcal {A}}$ .
• AB4) ${\mathcal {A}}$ задовольняє аксіомі AB3) і кодобуток будь-якої сім'ї мономорфізмів є мономорфізмом (тобто кодобуток є точним функтором).
• AB5) ${\mathcal {A}}$ задовольняє аксіомі AB3) і Фільтровані кограниці точних послідовностей є точними. Еквівалентно, для будь-якої ґратки $(A_{i})_{i\in I}$ підоб'єктів об'єкта $A$ і будь-якого $B$ — підоб'єкта об'єкта $A$ справедливою є рівність $\sum (A_{i}\cap B)=\sum (A_{i})\cap B.$

Аксіоми AB3 *), AB4 *) і AB5 *) отримуються з наведених вище аксіом як двоїсті їм (тобто заміною кограниці на границі. Аксіоми AB1) і AB2) — стандартні аксіоми, які виконуються в будь-якій абелевій категорії (точніше, абелева категорія є адитивною категорією, яка задовольняє цим аксіомам):

• AB1) У будь-якого морфізму існує ядро й коядро.
• AB2) Для будь-якого морфізму $f:A\to B$ канонічний морфізм з $\mathrm {coim} f$ в $\mathrm {im} f$ є ізоморфізмом.

Гротендік також формулював сильніші аксіоми AB6) і AB6 *), проте не використовував їх у цій роботі. Зокрема AB6) мала вигляд

• AB6) A задовольняє AB3), і для сім'ї фільтрованих категорій $I_{j},j\in J$ і відображень $A_{j}:I_{j}\to A$, виконується $\prod _{j\in J}\lim _{I_{j}}A_{j}=\lim _{I_{j},\forall j\in J}\prod _{j\in J}A_{j}$, де lim позначає фільтровану кограницю.

Властивості

• Клас абелевих категорій замкнутий щодо кількох категорних конструкцій; наприклад, категорія ланцюгових комплексів з елементами з абелевої категорії і категорія функторів з малої категорії в абелеву також є абелевими.

• Для пари об'єктів A, B в абелевій категорії, існує нульовий морфізм з A у B. Він є нульовим елементом Hom(A,B), що є абелевою групою. Також за означенням він є рівним композиції A → 0 → B, де 0 є нульовим об'єктом абелевої категорії.

• В абелевій категорії кожен морфізм f є рівним композиції епіморфізму і мономорфізму. Епіморфізм називається кообразом f, а мономорфізм — образом f.

• У локально малій категорії підоб'єкти довільного об'єкту утворюють модулярну ґратку.

Див. також

• Абелева група
• Теорія категорій

Література

• Buchsbaum, D. A. (1955), Exact categories and duality, Transactions of the American Mathematical Society, 80 (1): 1—34, doi:10.1090/S0002-9947-1955-0074407-6, ISSN 0002-9947, JSTOR 1993003, MR 0074407
• Freyd, Peter (1964), Abelian Categories, New York: Harper and Row, архів оригіналу за 25 лютого 2021, процитовано 1 лютого 2018
• Grothendieck, Alexander (1957), Sur quelques points d'algèbre homologique, The Tohoku Mathematical Journal. Second Series, 9: 119—221, doi:10.2748/tmj/1178244839, ISSN 0040-8735, MR 0102537, архів оригіналу за 20 серпня 2020, процитовано 1 лютого 2018
• Mitchell, Barry (1965), Theory of Categories, Boston, MA: Academic Press
• Popescu, N. (1973), Abelian categories with applications to rings and modules, Boston, MA: Academic Press
• Weibel Charles A. (1994), An Introduction to Homological Algebra, Cambridge Studies in Advanced Mathematics., т. 38, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-55987-4

Посилання

• Абелева категорія [Архівовано 25 лютого 2022 у Wayback Machine.] // ВУЕ