Користувач:Knu mechmat/Міра Жордана

Міра Жордана — один із способів формалізації поняття довжини, площі і $n$-вимірного об'єму в $n$-вимірному евклідовому просторі.

Для однократного інтеграла відрізок є основною дійсною множиною, де він визначається. При переході до кратних інтегралів це змінюється. Наприклад, у випадку подвійного інтеграла бажано вміти визначати інтеграли не тільки по прямокутникам , але і по таким множинам, як трикутник, круг і т.д. Для визначення кратного інтеграла по множинам, більш складним, ніж бруси, потрібно спочатку поширити поняття об'єму на ці множини. Перше поширення поняття міри (тобто довжини у випадку множини на R, площини для підмножини R² і об'єму для підмножини R³) на доволі широкий клас підмножин належить К.Жордану. Множини із цього класу називаються вимірними за Жорданом, а їх об'єм-міра називається мірою Жордана. Міра Жордана володіє звичайними властивостями, які притаманні довжині, площі та об'єму.

Розбиття простору R^m

^{[усталений термін?]} Розбиттям нульового порядку простору R^m є представлення його у вигляді об'єднання брусів

$R^{m}=\bigcup _{n_{k}\in Z,1\leq k\leq m}Q^{(0)}(n_{1},\ldots ,n_{m})$, де $Q^{(0)}(n_{1},\ldots ,n_{m}):=\{{\vec {x}}=(x_{1},\ldots ,x_{m})\;|\;n_{k}\leq x_{k}\leq n_{k}+1,1\leq k\leq m\}.$

Нехай n ∈ N. Розбиттям n-го порядку простору R^m є представлення його у вигляді об'єднання брусів

$R^{m}=\bigcup _{n_{k}\in Z,1\leq k\leq m}Q^{(n)}(n_{1},\ldots ,n_{m})$, де $Q^{(n)}(n_{1},\ldots ,n_{m}):=\{{\vec {x}}=(x_{1},\ldots ,x_{m})\;{\bigg |}\;{\frac {n_{k}}{2^{n}}}\leq x_{k}\leq {\frac {n_{k}+1}{2^{n}}},1\leq k\leq m\}.$

Властивості розбиттів простору R^m

• Нехай F ⊂ R^m — обмежена множина в(R^m,ρ). Для кожного n ∈ (N ∪ {0}) набір брусів розбиття порядку n простору R^m, що містить хоча б одну спільну точку з F, є скінченним.
• Для кожного n ∈ (N ∪ {0}) бруси розбиття порядку n + 1 отримуються із брусів розбиття порядку n розбиттям останніх на 2_m конгруентних бруси.
• Діаметр та об'єм бруса розбиття порядку n відповідно рівні ${\sqrt {m}}2^{-n}$, $2^{-mn}$.
• Два різних бруси розбиття порядку n не мають спільних внутрішніх в (R^m,ρ) точок.
• Розбиття порядку n простору R^m визначає природнім чином розбиття порядку n таких підпросторів, як підпростір

$R^{m-1}=\{(x_{1},\ldots ,x_{m-1})\},R^{2}=\{(x_{1},x_{2})\}$ і т.д.

Шаблон:Denotation Розбиття порядку n простору R^m будемо позначати наступним чином

$\pi ^{(n)}:=\pi _{m}^{(n)}:=\{Q^{(n)}(n_{1},\ldots ,n_{m})\;|\;n_{k}\in Z,1\leq k\leq m\}$, при цьому $\bigcup _{Q\in \pi ^{(n)}}Q=R^{m}.$

Для бруса Q ∈ π⁽ⁿ) через Q⁰ будемо позначати множину всіх його внутрішніх в (R^m,ρ) точок.

Вимірні множини. Міра

^{[усталений термін?]} Об'ємом(m-мірним об'ємом) або мірою(m-мірною мірою) бруса $Q=\prod _{k=1}^{m}[a_{k},b_{k}]$ називається число $m(Q):=\prod _{k=1}^{m}(b_{k}-a_{k})$. Якщо $G\subset R^{m}$ і $G=\bigcup _{k=1}^{s}Q_{k},Q_{k}\in \pi ^{(n)},1\leq k\leq m$, при деякому n і всі {Q_k} різні, то міра(m-мірна міра) множини G є

$m(G):=\sum _{k=1}^{m}m(Q_{k}).$

Вважаємо, що $m(\varnothing ):=0.$

Нехай F ⊂ R^m, F обмежена в (R^m,ρ). Для кожного n ∈ (N ∪ {0}) визначимо множини

$F_{(n)}:=\bigcup _{Q\in \pi ^{(n)},Q\subset F}Q;\quad F^{(n)}:=\bigcup _{Q\in \pi ^{(n)},Q\cap F\neq \emptyset }Q;\quad \Delta F_{(n)}:=\bigcup _{Q\in \pi ^{(n)},Q\subset F^{(n)},Q\notin F_{(n)}}Q$.

У тому випадку, коли бруса Q ∈ π⁽ⁿ), для якого Q ⊂ F, не існує, будемо вважати, що F_(n) := ∅. При цьому F_(n) ⊂ F ⊂ F⁽ⁿ⁾, (F \ F_(n)) ⊂ (F⁽ⁿ⁾ \ F_(n)) ⊂ ΔF_(n). Для мір множин F_(n), F⁽ⁿ⁾, ΔF_(n) справедливі співвідношення

$m(F_{(n)})\leq m(F^{(n)}),\quad m(\Delta F_{(n)})=m(F^{(n)})-m(F_{(n)});\;n\geq 0.$

^{[усталений термін?]} Внутрішньою мірою обмеженої множини F ⊂ R^m називається невід'ємне число

$m_{*}(F):=\lim _{n\to \infty }m(F_{(n)})=\sup _{n\geq 0}m(F_{(n)}).$

^{[усталений термін?]} Зовнішньою мірою обмеженої множини F ⊂ R^m називається число

$m^{*}(F):=\lim _{n\to \infty }m(F^{(n)})=\inf _{n\geq 0}m(F^{(n)}).$

^{[усталений термін?]} Обмежена множина F ⊂ R^m називається вимірною в сенсі Жордана, якщо справедлива рівність $m_{*}(F)=m^{*}(F)$. Для вимірної множини F число $m(F):=m_{*}(F)=m^{*}(F)$ називається мірою Жордана.

Шаблон:Denotation Клас всіх підмножин R^m, вимірних за Жорданом, позначають K = K_m.

Клас K не пустий, в нього входять множини, що складаються зі скінченної кількості брусів розбиттів простору R^m.

Шаблон:Plain theorem Нехай F — обмежена підмножина R^m. Тоді F ∈K ⇔ m(ΔF_(n)) = m(F⁽ⁿ⁾) - m(F_(n)) → 0, n → ∞.

Усі прямокутники, кулі, симплекси є вимірними за Жорданом. Простим прикладом не вимірної за Жорданом множини є множина раціональних чисел. Зовнішня міра Жордана цієї множини рівна 1, а внутрішня рівна нулю.

Побудова

Множина вимірна за Жорданом, якщо внутрішня міра Жордана дорівнює зовнішній мірі Жордана.

Міра Жордана $~m\Delta$ паралелепіпеда $\Delta =\prod _{i=1}^{n}[a_{i},\;b_{i}]$ в $\mathbb {R} ^{n}$ визначається як добуток

$m\Delta =\prod _{i=1}^{n}(b_{i}-a_{i}).$

Для обмеженої множини $E\subset \mathbb {R} ^{n}$ визначаються:

• зовнішня міра Жордана

  $m_{e}E=\inf \sum _{k=1}^{N}m\Delta _{k},\quad \bigcup _{k}\Delta _{k}\supset E$

• внутрішня міра Жордана

  $m_{i}E=\sup \sum _{k=1}^{N}m\Delta _{k},\quad \bigcup _{k}\Delta _{k}\subset E,\quad \Delta _{k}\cap \Delta _{m}$, якщо $\ k\neq m,$

де $\Delta _{1},\;\Delta _{2},\;\ldots ,\;\Delta _{N}$ — паралелепіпеди описаного вище виду.

Множина $~E$ називається вимірною за Жорданом, якщо $~m_{e}E=m_{i}E$. В цьому випадку міра Жордана дорівнює $~mE=m_{e}E=m_{i}E$.

Властивості вимірних множин

Шаблон:Plain theorem Нехай {A,B} ⊂ K. Тоді мають місце включення

1. (A ∪ B) ∈ K
2. (A \ B) ∈ K
3. (A ∩ B) ∈ K

Шаблон:Remark З теореми слідує, що об'єднання та перетин кінцевого числа вимірних множин є вимірними множинами. Клас множин K, що задовольняє умовам 1,2,3 теореми називається кільцем. Таким чином, клас множин вимірних за Жорданом є кільцем, що включає бруси та скінченні об'єднання брусів.

Властивості міри Жордана

• Піваддитивність. Для будь-яких {A,B} ⊂ K справедлива нерівність

$m(A\cup B)\leq m(A)+m(B).$

• Аддитивність. Нехай {A,B} ⊂ K і A⁰ ∩ B⁰ = ∅. Тоді

$m(A\cup B)=m(A)+m(B)$

• Монотонність. Нехай {A,B} ⊂ K, A ⊂ B. Тоді

$m(A)\leq m(B),m(B\setminus A)=m(B)-m(A).$

• Міра Жордана інваріантна щодо рухів евклідового простору.
• Обмежена множина $E\subset \mathbb {R} ^{n}$ вимірна за Жорданом тоді і тільки тоді, коли його границя має міру Жордана рівну нулю .
• Зовнішня міра Жордана для $~E$ рівна зовнішній мірі Жордана для ${\bar {E}}$ (замикання множини $~E$) і рівна мірі Бореля ${\bar {E}}$.

Циліндричні множини та їх вимірність

Нехай $R^{m}=\{(x_{1},\ldots ,x_{m})|x_{k}\in R,1\leq k\leq m\}$. В просторі $R^{m-1}=\{(x_{1},\ldots ,x_{m-1})|x_{k}\in R,1\leq k\leq m-1\}$ розглянемо множину A і дві функції u_j : A → R, j = 1,2 такі, для яких справедлива нерівність

$\forall (x_{1},\ldots ,x_{m-1})\in A:\;u_{1}(x_{1},\ldots ,x_{m-1})\leq u_{2}(x_{1},\ldots ,x_{m-1}).$

^{[усталений термін?]} Циліндричною в направленні осі 0x_m множиною з основою А називається підмножина R^m

$C:=\{(x_{1},\ldots ,x_{m-1},x_{m})\;|\;(x_{1},\ldots ,x_{m-1})\in A,\;u_{1}(x_{1},\ldots ,x_{m-1})\leq x_{m}\leq u_{2}(x_{1},\ldots ,x_{m-1})\}.$

Шаблон:Denotation Для циліндричної множини С її основу позначають baC := A.

{{knu mechmat}} → При m = 2 циліндричними множинами є круг, трикутник. При m = 3  — куля, частина циліндра з віссю, паралельною осі 0x₃, отримана за допомогою двох кришок.

Шаблон:Remark Брус $Q=\prod _{k=1}^{m}[a_{k},b_{k}]$ є циліндричною множиною з основою $\mathrm {ba} Q=\prod _{k=1}^{m-1}[a_{k},b_{k}]$  — брусом в R^m-1 і функціями u₁(x₁,...,x_m-1) = a_m, u₂(x₁,...,x_m-1) = b_m; (x₁,...,x_m-1) ∈ baQ.

Шаблон:Plain theorem Нехай С — циліндрична множина з основою baC і функціями u₁, u₂. Припустимо, що

1. baC компактна в (R^m-1,ρ^m-1) і baC ∈ K^m-1;
2. u_j ∈ C(baC), j = 1,2.

Тоді множина С компактна в (R^m,ρ^m) і С ∈ K^m.

Література

• Peano, G. Applicazioni geometriche del calcolo infinitesimale. — Torino, 1887;
• Jordan, C. Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. — 1892. — t. 8. — p. 69—99;
• Дороговцев А. Я. Математический анализ. — К. : Факт, 2004. — 560с.

Див. також

• Міра Лебега
• Міра множини
• Міра Хаусдорфа
• Міра Бореля